第17讲 二次函数与其他函数 2024年九年级寒假数学重难点专题复习 （人教版）

贵哥讲初中数学 第二部分 综合篇之二次函数篇 第17讲 二次函数与其他函数 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 一次函数性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图像是一条直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 当时，即一次函数经过轴上的点，决定直线与轴的交点位置. 拓展知识 （1）一次函数的也称为斜率，它描述直线的倾斜程度，直线越陡越大； （2）过两点，（）的直线解析式中； （3）两直线，平行，则； （4）两直线，垂直，则. 2反比例函数的性质 ① 当时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小； ② 当时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大； ③ 双曲线的两支会无限接近坐标轴，但不会与坐标轴相交. ④ 反比例函数的几何意义 点在反比例函数的图像上，则，. 3二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【题型1】 基础考核 【典题1】 如图，抛物线与x轴交于点A(﹣2，0)，B(6，0)，与y轴交于点C，直线y2＝mx+c经过点B．以下结论中错误的是(　　) A．b2﹣4ac＞0 B．关于x的方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6 C．若y1≤c，则0≤x≤4 D．关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是0＜x＜6 解析 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0．故A不合题意． 抛物线与直线交于点(0，c)和点(6，0)， ∴方程ax2+bx+c＝mx+c的解为x1＝0，x2＝6， 即方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6，故B不合题意． 直线y＝c与抛物线交与(0，c)和点(4，c)， ∴y1≤c，则0≤x≤4，故C不合题意． 由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意． 故选：D． 【巩固练习】 1. (★★)已知函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与函数的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②c＞；③4a+2b+c＞；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 B 解析 ∵开口向上，∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧，∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0， ∴abc＞0，故①不正确； ∵直线y＝x与y轴的交点为，∴c＞， ∵c＜0，∴＜c＜0，故②不正确； 当x＝2时，抛物线图象在直线图象的上方， ∴4a+2b+c＞，故③正确； ∵抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程ax2+(b﹣1)x+c+＝0有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述：③④正确， 故选：B． 2. (★★)方程的实数解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 D 解析 将方程变形为， 设y1＝﹣+5，y2＝(x﹣1)2， 在坐标系中画出两个函数的图象如下所示： 可看出两个函数有三个交点． 故方程的实数解的个数有三个． 故选：D． 3. (★★)如图，二次函数y1＝ax2+bx+c与反比例函数的图象交于A(﹣1.5，p)，B(1，q)，C(2.5，r)三点，则当y1＜y2时，x的取值范围是　 　． 答案 ﹣1.5＜x＜0或1＜x＜2.5 解析 如图所示： 当y1＜y2时，即反比例函数图象在二次函数图象上方部分， 故x的取值范围是：﹣1.5＜x＜0或1＜x＜2.5． 故答案为：﹣1.5＜x＜0或1＜x＜2.5． 4. (★★)抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx+c的解是 　 　． 答案 x1＝﹣2，x2＝1 解析 ∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)， ∴方程组的解为， 即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．