第9讲 相似三角形 2024年九年级寒假数学重难点专题复习（人教版）

贵哥讲初中数学 第一部分 基础篇之几何篇 第9讲 相似三角形 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 相似三角形的概念 两个三角形中三个角分别相等，三条边成比例，则这两个三角形相似. 如下图，两个三角形中，，，， 则与相似，相似比为，相似用符号“”表示，读作“相似于”， 与相似记作“”. 2 相似三角形的判定 ① 三边成比例的两个三角形相似； ② 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③ 两角分别相等的两个三角形相似. 3 相似三角形的性质 ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比与周长比都等于相似比. ② 相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【题型1】相似三角形的性质和判定 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，0)，C(0，1)，在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 　 　． 【典题2】如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上运动，当点D从点B运动到点C时． (1)当BD＝1时，则CE＝　　； (2)设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　． 【巩固练习】 1. (★)已知△FHB∽△EAD，它们的面积分别为60和15，且FH＝6，则EA的长为(　　) A．1.5 B．3 C．12 D．24 2. (★)如图，△EFO∽△GHO，若FO＝12，HO＝6，GH＝4，则EF的长是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 3. (★★)如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足(　　) A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 4. (★★)如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是(　　) A． B． C． D． 5. (★★★)如图所示，在平面直角坐标系中，已知△OAB，点A的坐标为(a，a)，点B的坐标为(b，0)．若a，b的值是关于x的一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且b＞a． (1)直接写出a＝　 　，b＝　 　； (2)若点P在y轴上，且△POA∽△AOB，求点P的坐标． 6. (★★★)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形．若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，且OA＞OB． (1)OA＝　 　，OB＝　 　； (2)连接OD，若点E为x轴负半轴上的点，若△AOE与△DAO相似，则此时点E的坐标． 【题型2】 相似三角形的应用 【典题1】有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC＝12cm，高AD＝8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm． (1)写出y与x的函数关系式； (2)当x取多少时，EFGH是正方形． 【巩固练习】 1. (★★)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC＝6m．则建筑物CD的高是(　　) A．4m B．9m C．8m D．6m 2. (★★)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为(　　) A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 3. (★★★)如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为(　　) A． B． C． D． 4. (★★★)如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．求灯泡到地面的高度AG． 5. (★★★)大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面