复习篇 第5讲 几何模型之将军饮马模型 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第5讲 几何模型之将军饮马模型 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 将军饮马模型 如下图，点，在直线的同侧，在直线上取一点，使得最小. 作法 作点关于直线的对称点，连接与直线交于点. 简证 ，， 因为，所以， 所以点为所求点. 2 将军饮马模型变形 模型1 如下图，点，在直线的异侧，在直线上取一点，使得最小. 两点间线段最短，连接，交直线于点，此时最小，其最小值为. 模型2 如下图，点是内的一定点，分别在，上做点，，使得的周长最小. 作点关于，的对称点，连接，交，于点，，此时的周长最小，其最小值为. 模型3 如下图，点，是内的两点，分别在，上做点，，使得四边形的周长最小. 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交，于点，，此时四边形的周长最小，其最小值为. 模型4 如下图，点是N外的一点，在射线上找到点，使(点到射线的距离)最小. 过点作，则. 模型5 如下图，点是内的一点，在射线上找到点，使(点到射线的距离)最小. 如左图，作关于的对称点，过点作，则； 如右图，作关于的对称线，过点作，则. 【题型1】 将军饮马模型 【典题1】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是(　　) A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【典题2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE． (1)说明：AE＝CE＝BE； (2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值． 【巩固练习】 1. (★★)如图所示，在△ABC中，∠ABC＝68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是(　　) A．118° B．125° C．136° D．124° 2. (★★★)如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为(　　) A．13 B．15 C．16 D．17 3. (★★★)如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3cm．点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM、QM，则PM+QM的最小值为 　　cm． 4. (★★★)如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的，P为线段A'C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是 . 5. (★★★)如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 　 　． 6. (★★★)如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，边长为6，高为a，在拼成的四边形ABCD中，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF，CE，CF． (1)求证：△CEF是等边三角形； (2)△AEF周长的最小值是 　 　(用含a的式子表示)． 【题型2】 将军饮马的变形模型 【典题1】 如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是(　　) A．90° B．100° C．110° D．80° 【巩固练习】 1. (★★★)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝　 　°． 2. (★★★)如图，△ABD是边长为6的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC＝∠ABC＝90°，则△CEF周长的最小值为 　 　． 3. (★★★)如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为　 　． 4. (★★★★)在△ABC中，∠B＝90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED． (1)如图1，当∠BAC＝40°时，则∠AED＝　 　°； (2)当∠BAC＝60°时， ①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明； ②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE﹣PD的值最大时，用等式