复习篇 第4讲 几何模型之三垂直模型、手拉手模型 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第4讲 几何模型之三垂直模型、手拉手模型 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1三垂直模型 （1） 三垂直模型的基本图象 ① 由，推出; ② 由，推出 ③ 由，推出. （2）拓展模型 若三点在一条直线上，，则 2手拉手模型 （1）手拉手模型特点 手拉手模型特：两个等腰三角形；共顶点；顶角相等。 因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。 该模型可从“旋转”的角度进行思考，常见的模型如下图 旋转后对应边间的夹角相等. （2）常见的解题技巧 1 遇旋，造等边三角形 2 遇旋，造等腰直角三角形 3 遇等腰旋顶角，造旋转全等 ④ 遇中点旋，造中心对称. 【题型1】 三垂直模型 【典题1】 如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O＝90°)，若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 　 　cm． 【典题2】 如图，在中，，点分别在上，且，． (1)试说明：； (2)当时，求的度数； (3)请你猜想：当为多少度时，，并请说明理由． 【巩固练习】 1. (★★)一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为(　　) A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 2. (★★)如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算FH的长为 　 　． 3. (★★)如图，在△ABC中AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于 　 　． 4. (★★★)如图，在△ABC中，AB＝BC． (1)如图①所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC＝90°．求证：MN＝AM+CN． (2)如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，则MN＝AM+CN是否成立？请说明理由． 5. (★★★)已知△ABC为等腰三角形，∠ACB＝90°，直线DE过点C(不经过点A，B)，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E． (1)如图1，当点A，B位于直线DE的同侧时，判断AD与CE的大小关系，并说明理由； (2)如图2，若点A，B位于直线DE的两侧， ①(1)的结论是否还能成立，请说明理由； ②设DE与AB交于点F，当∠EBF＝22.5°时，判断BE与DF是否相等，并说明理由． 6. (★★★★) (1)尝试探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是 　　；DE与BD、CE的数量关系为 　 　． (2)类比延伸：如图②，∠ABC＝90°，BA＝BC，点A，B的坐标分别是(﹣2，0)，(0，3)，求点C的坐标． (3)拓展迁移：在(2)的条件下，在坐标平面内找一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等．直接写出点P的坐标． 【题型2】 手拉手模型 【典题1】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是(　　) A．45° B．60° C．62.5° D．67.5° 【典题2】在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90° (1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5 ①求证：AF⊥BD②求AF的长度； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； (3)如图3，在(2)的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由． 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则点C'到BC的距离为 　　． 2. (★★)如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数． 3. (★★★)如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF． (1)若AE＝2，求EF的长； (2