复习篇 第3讲 几何模型之倍长中线、截长补短 2024年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

贵哥讲初中数学 第3讲 几何模型之倍长中线、截长补短 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1倍长中线模型 （1）定义 即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角． （2）示例剖析 其中，延长使得，则． 其模型也属于“字型或成字型”. 2 截长补短 定义 示例剖析 截长 在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短 在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得。 【题型1】 倍长中线模型 【典题1】 如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝　 　． 【典题2】已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，连接DE，DF，EF． （1）求∠ECF的度数； （2）求证：△DEF为等腰直角三角形． 【巩固练习】 1. (★★)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2. (★★)如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 3. (★★)如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，点F为边AB的中点，连接EF，CF，若AD＝CD，∠CEF＝38°，则∠AFE＝　 　． 4. (★★★)如图，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，BC平分∠EBD． (1)求证：∠ABE＝∠D；(2)求证：BD＝2BE． 5. (★★★★)已知△ABC中， (1)如图1，点E为BC的中点，连接AE并延长到点F，使FE＝EA，则BF与AC的数量关系是 　 　． (2)如图2，若AB＝AC，点E为边AC上一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC＝∠ABD，求证：AE＝EC． (3)如图3，点D在△ABC内部，且满足AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，点M在DC的延长线上，连接AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM＝AB． 【题型2】截长补短 【典题1】 如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度数是　 　． 【典题2】如图，△ABC是等边三角形、△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN． (1)探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并证明； (2)若点M、N分别是AB，CA延长线上的点，其他条件不变，请作出图形，再探究线段BM，MN，NC之间的数量关系．(不要求证明) 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD， 则∠DCB的度数是　 　． 2. (★★)如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC+BD． 3. (★★★)如图，△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，BE是△ABC的平分线．求证：AE+BE＝BC． 4. (★★★)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证： (1)BQ＝CQ；(2)BQ+AQ＝AB+BP． 5. (★★★★)已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． 1. (★★)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9 2. (★★)如图，△ABC中，点D在AC上，AD＝3，AB+AC＝10，点E是BD的中点，连接CE，∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，则CD＝　　． 3. (★★★)如图所示：△ABC是