第14章 勾股定理（单元小结）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

单元小结 数学（华东师大版） 八年级 上册 第14章 勾股定理 单元小结 知识点一 勾股定理 1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 2.勾股定理的应用条件 3.勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， A B C c a b 单元小结 知识点二 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2.勾股数 3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. A B C c a b 单元小结 知识点三 勾股定理的验证 如图，以a、b 为直角边(b>a)，以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .　 把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，它是一个边长为c的正方形，它的面积等于 .而四边形EFGH是一个边长为 的正方形，它的面积等于 . b－a　 c2 (b－a)2 ∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形， ∴4× ab＋(b－a)2＝c2， ∴a2＋b2＝c2. 单元小结 知识点四 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足a2＋b2＝c2的三个　 　数a、b、c，称为勾股数． [注意] 勾股数都是正整数． 正整 正整 单元小结 知识点五 勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题； (3)在　 上作表示 等数的点的问题； (4)解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理． 　直角 数轴 单元小结 考点训练一 勾股定理 【例1】在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长． 【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解． 解：∵∠B＝90°，∴b是斜边， 则在Rt△ABC中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 单元小结 针对训练 A C B D 解：（1）∵在Rt△ABC，∠ACB=90°， 由勾股定理得： AB2=AC2+BC2=202+152=252， ∴AB=25. x 25-x （2）设BD=x，则AD=25-x. ∵AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2， ∴AC2-AD2=BC2-BD2， ∴202-(25-x)2=152-x2，即50x=450， 解得x=9. ∴BD=9. 两直角三角形共一边的情况，可利用勾股定理列方程求解. 1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长． 单元小结 2、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15. （1）求AB的长； （2）求BD的长． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， （2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= AB•CD， ∴20×15=25CD， ∴CD=12． ∴在Rt△BCD中， 单元小结 3．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面积. 解：∵a+b=14， ∴(a+b)2=196. 又∵a2+b2=c2=100， ∴2ab=196-(a2+b2)=96， ∴ ab=24， 即△ABC的面积为24． 单元小结 考点训练二 勾股定理的验证 【例2】将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°, 求证：a2+b2=c2. 证明：如图①，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=EC=b-a. ∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab， S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a)， ∴ b2+ab=c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放， 其中∠DAB=90°. 求证：a2+b2=c2. 单元小结 证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE的延长