假期作业(二十)简单的三角恒等变换-【百汇大课堂·寒假作业】2023-2024学年高一数学假期作业（新教材）

假期作业 假期作业(二十) 简单的三角恒等变换 1.半角公式 cos2α= ① cosα= ② ↓ sinα2 = ③ ↓ ↓ 有理 形式 ↓ tanα2 = sinα 1+cosα= 1-cosα sinα 无理 形式 ↓ tanα2 =± 1-cosα 1+cosα cosα2 = ⑥ ↓ cosα= ⑤ ↓ (以α代替2α,以α2 代替α) cos2α= ④ 2.本质 (1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由 二倍角公式变形得到的. (2)半角公式给出了求α2 的正弦、余弦、正切 的另一种方式,即只需知道cosα的值及相 应α的条件,便可求出sinα2 ,cosα2 ,tanα2. 3.应用 (1)求值;(2)化简;(3)证明. 一、选择题 1.若θ∈ π4 ,π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,cos2θ=-18 ,则sinθ= ( ) A.35 B. 3 4 C.74 D. 4 5 2.已知α是第三象限角,若cosα=-45 ,则 tanα2+ π 4 = ( ) A.-2 B.-12 C. 1 2 D.2 3.已知角A 是△ABC的一个内角,且tanA2= 5 2 ,则△ABC的形状是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断△ABC的形状 4.若α∈ π2 ,π ,则2cos2α=sin π4-α ,则 sin2α的值为 ( ) A.18 B.- 7 8 C.1 D. 7 8 5.已知A,B,C是△ABC的三个内角,设f(B)= 4sinB·cos2 π4- B 2 +cos2B.若f(B)-m< 2恒成立,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,1)B.(-3,+∞) C.(-∞,3)D.(1,+∞) 6.(多选)已知函数f(x)=2|sinx|cosx+ cos2x,下列结论正确的是 ( ) A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的值域为[- 2,2] D.f(x)的单调递减区间为 π4+2kπ ,3π 4+2kπ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 , k∈Z 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— 高一寒假·数学 二、填空题 7.化简:sin4x1+cos4x · cos2x 1+cos2x · cosx 1+cosx= . 8.设α∈ 3π2 ,2π ,化简: 12+12 12+12cos2α = . 三、解答题 9.如图,要把半径为R 的 半圆截成长方形,应怎 样截取,才能使△AOB 的周长最大? 10.已知函数f(x)= 3sin2x+cos2x,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)图 象的对称轴方程; (2)若f α2 =65,求cos2α-2π3 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 假期作业 作出函数f(x)在区间[0,π]上的图象如下图所示: ①当a> 2或a<- 2时,函数y=f(x)与直线y=a在[0, nπ]上无交点; ②当a= 2或a=- 2时,函数y=f(x)与直线y=a在[0, π]上仅有一个交点, 此时要使函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上有2021个 交点,则n=2021; ③当- 2<a<1或1<a< 2时,函数y=f(x)与直线y=a 在[0,π]上有两个交点, 此时函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点, 不可能有2021个交点,不符合; ④当a=1时,函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上有3个 交点, 此时要使函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2021 个交点,则n=1010. 综上所述,存在实数a和正整数n 满足条件:当a=± 2时, n=2021;当a=1时,n=1010. 假期作业(二十) 知识梳理 ①