假期作业(十四)三角函数的概念-【百汇大课堂·寒假作业】2023-2024学年高一数学假期作业（新教材）

假期作业 假期作业(十四) 三角函数的概念 1.三角函数的定义(单位圆法) 在平面直角坐标系中,设 α是一个任意角,α∈R,它 的终边OP 与① 相交于点P(x,y),那么: ② =sinα;③ =cosα; ④ =tanα(x≠0). 2.三角函数值的符号 (1)图形表示. (2)记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四 余弦. (3)本质:三角函数值在各个象限内的符号, 是根据单位圆与角的终边在各个象限内的 交点坐标的符号决定的. (4)应用:根据三角函数值在各个象限内的 符号,可以在不求三角函数值的情况下,判 断三角函数的正负. 3.公式一 (1)公式:sin(α+k·2π)=⑤ , cos(α+k·2π)=⑥ , tan(α+k·2π)=⑦ (k∈Z). (2)本质:终边相同的角的终边与单位圆交 点相同,因此终边相同的角的三角函数值 相同. 4.同角三角函数的基本关系 平方关系 商数关系 公式 表示 ⑧ sinα cosα=⑨ (α≠π2+kπ ,k∈Z) 语言 叙述 同一个角α的正 弦、余弦的平方 和等于1. 同一个角α的正弦、 余弦的商等于角α 的􀃊􀁉􀁒 . 一、选择题 1.已知角α的终边经过点P(-2,4),则sinα -cosα的值等于 ( ) A.3 55 B.- 3 3 5 C.15 D.- 2 3 3 2.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ<0, 则此三角形必为 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 3.sin750°的值为 ( ) A.- 32 B.- 1 2 C.12 D. 3 2 4.(多选)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a ≠0),则2sinα-cosα的值可以是 ( ) A.-3 55 B. 5 5 C.- 55 D. 3 5 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— 高一寒假·数学 5.已知 -π2<α< π 2 ,sinα+cosα=15 ,则 1 cos2α-sin2α 的值为 ( ) A.75 B.± 7 5 C.257 D.± 25 7 6.我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618 优选法”.0.618是被公认为最具有审美意 义的比例数字,我们称为黄金分割.“0.618 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广 泛的应用,华先生认为底与腰之比为黄金分 割比 5-12 5-12 ≈0.618 的黄金三角形是 “最美三角形”,即顶角为36°的等腰三角形. 例如,中国国旗上的五角星就是由五个“最 美三角形”与一个正五边形组成的.如图,在 其中 一 个 黄 金△ABC 中,黄 金 分 割 比 为 BC AC. 试根据以上信息,计算sin18°=( ) A.5-12 B. 5-1 4 C.5+14 D. 3- 5 2 二、填空题 7.已知tanα=2,则sinα+2cosαsinα-cosα= , 1 sin2α+sinαcosα-2cos2α = . 8.已知sinα=14 ,且α∈ π2 ,π ,则sinα- 2cos2α= . 三、解答题 9.已知 1|sinα|=- 1 sinα ,且lg(cosα)有意义. (1)试判断角α是第几象限角; (2)若角α的终边上一点是M 35 ,m ,且|OM| =1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值. 10.已知sinx-2cosx=0, (1)求2sin2x-sinxcosx+cos2x的值; (2)求2sin 3x-cosx sinx+2cos3x 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 假期作业 当k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°<α2<n ·360°+135°,n∈ Z,其终边在区域③内;当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270° <α2<n ·360°