假期作业(六)奇偶性-【百汇大课堂·寒假作业】2023-2024学年高一数学假期作业（新教材）

假期作业 假期作业(六) 奇偶性 函数的奇偶性 定义 图象特点 偶 函 数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 ① , 那么函数f(x)是偶函数 关于② 对称 奇 函 数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 ③ , 那么函数f(x)是奇函数 关于④ 对称 提醒:函数的定义域关于原点对称是函数具 有奇偶性的前提条件. [常用结论] 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)= f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的 单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶 =偶,奇 × 奇 = 偶,偶 × 偶 = 偶,奇 × 偶 =奇. 一、选择题 1.下列四个函数中为偶函数的是 ( ) A.y=2x B.y=x 5-x4 x-1 C.y=x2-2x D.y=|x| 2.函数f(x)=x 2-1 x 的图象一定关于 ( ) A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线x=1对称 3.已知函数f(x)是定义在 R上的偶函数,当 x<0时,f(x)=x3,则f(2)的值是 ( ) A.8 B.-8 C.18 D.- 1 8 4.(2020·天津卷)函数y= 4xx2+1 的图象大致 为 ( ) 5.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减, 则有 ( ) A.f(-1)>f π3 >f(-π) B.f π3 >f(-1)>f(-π) C.f(-π)>f(-1)>f π3 D.f(-1)>f(π)>f π3 6.设fx 为定义在R上的函数,函数fx+1 是 奇函数.对于下列四个结论: ①f1 =0; ②f1-x =-f1+x ; ③函数fx 的图象关于原点对称; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 高一寒假·数学 ④函数fx 的图象关于点 1,0 对称. 其中,正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数, 定义域为[a,2b],则a+2b= . 8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x ≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解 析式为 . 三、解答题 9.已知函数f(x)=x+4x. (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)指出该函数在区间(0,2]上的单调性,并 用函数单调性定义证明; (3)已知函数g(x)= f(x),x>0, 5,x=0, -f(x),x<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 当x∈ [-1,t]时,g(x)的取值范围是[5,+∞),求 实数t的取值范围. 10.若函数y=f x 对任意实数x,y 都有 f xy =fx f y ,则称其为“保积函数”. (1)请写出两个“保积函数”的函数解析式; (2)若“保积函数”y=f x 满足f -1 = 1,判断其奇偶性并证明; (3)对 于(2)中 的“保 积 函 数”,若 x∈ 0,1 时,fx ∈ 0,1 ,且f81 =27,试 求不等式f(x)≤3 3的解集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 高一寒假·数学 4.C [函数y=f(x)在 R上为增函数,且f(2m)>f(-m+ 9),所以2m>-m+9,解得m>3.] 5.BD [函数f(x)= ax2+bx,可得ax2+bx≥0, 若a=0,则bx≥0,f(x)的定义域不为[m,n]; 若a>0,则f(x)的定义域也不为[m,n],所以a<0; 若a<0,b=0,则ax2+bx≥0的解集为{0},也不成立; 若a<0,b<0,则ax2+bx≥0的解集为 -ba ,0 ,这与f(x) 的值域为[m,n],且f(x)≥0矛盾,所以a<0,b<0也不 成立;