2024年山东省德州市九年级中考专项复习旋转--半角模型

旋转--半角模型 【模型概述】 ①有公共顶点的两个角,其中一个角是另一个角的一半； ②大角的两边相等； ③存在互补(或互余)的角. 【解题思路】 ①以公共端点为旋转中心,相等的两条线段的夹角为旋转角； 将分散的条件集中,隐蔽的关系显现； ②证明一对轴对称的全等三角形； ③通过全等的性质得出线段之间的数量关系. 主要讲解正方形中的半角，120°等可以类比 如图:正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45º,连接BD交AE于M,AF于N,连接EN、FM.则有下列结论. 全等关系：①△ABE≌ADE’;②△ABE≌AHE;③△ADF≌AHF;④△AEF≌AE’F; 线段之间的关系：①EF=BE+FD;②;③;④AN=EN,AM=FM; ⑤CE=DN,CF=BM,EF=NM;⑥（12345模型）;⑦△AEF的边EF上的高AH等于正方形的边长；⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍. 角度之间的关系：①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD;②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四对相等的角. 四点共圆：①ABEN;②ADFM;③EFMN;④CEMF;⑤CEGMF 特殊三角形:△AMF与△ANE是等腰直角三角形 面积关系：①;②;③A B C D E F 相似关系：①△AEF∽△AMN∽△BME∽△DNF∽△DAM∽△NBA；（相似比？）②△EFM∽△EAB；③△ADF∽△ENF 【邻补四边形】 邻补四边形内含半角(邻边相等，对角互补的四边形) 1.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点,∠ABC= ∠ADC=90º且∠EBF=45º.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.（备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明.）A B C D E F 2.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点, ∠ABC+∠ADC=180º且∠EBF=1/2∠ABCº.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系. A B C E F 3、如图：等腰直角△ABC中,∠ABC =90º,E、F都是AC上的点，且∠EBF=45º,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系. 【典例】 1、如图所示，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接. （1）求证： （2）求证：EF=DE （3）求证： 2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°求tan15°＝ 4、如图，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD⊥AB于点D,已知AB＝10,AD＝2.则AC的长为 5、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝900,D,E为AB边上两点，且∠DCE＝450，若AD＝2，BE＝1,则DE＝ 6、（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′=DE． （2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足 ∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．求证：DE2=AD2+EC2． 7、如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.给出下列判断：①∠EAG=45º；②若DE=，则AG//CF；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为；④若CF=FG，则DE=；⑤E+AFGE=.其中正确的是 。 8、已知等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于点M、N． （1）如图①，当M、N分别在边BC，CD上时，作AE垂直于AN，交CB的延长线于点E，求证：△ABE≌△ADN； （2）如图②，当M、N分别在边CB，DC的延长线上时，求证：MN＋BM＝DN； （3）如图③，当M、N分别在边CB，DC的延长线上时，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN＝10，C