5.1.2利用二分法求方程的近似解教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第五章 函数应用 5.1 方程解的存在性及方程的近似解 5.1.2 利用二分法求方程的近似解 · 教学目标 1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解． 2.体会函数在解方程中的作用． · 教学重难点 · 重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握． · 教学过程 一、情境导入 情境：怎样工作最合理？ 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，大约有多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？ 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 首先从整条线路的中点查起，用随身带的话机向两端测试时，发现段正常，断定故障在段；再到段中点，这次发现段正常，可见故障在段；再查中点…每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到左右，即两根电线杆附近，要查多少次？ 答案：只要8次就够了． 设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备． 二、新知探究 问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如，那么如何确定方程的解呢？ 设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考． 方程一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？ 答案：方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点． 所以，函数的零点就是的图象与轴交点的横坐标，即方程的实数解． 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 追问2：能否找出方程的一个实数解的存在区间呢？ 答案：设， 容易得出，，结合零点存在定理，可知在区间内存在零点，即方程的一个实数解的存在区间为． 追问3：我们已经知道，在区间内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？ 答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度） 设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解． 追问4：如果要获得精确度为的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？ 答案：已知在区间内存在实数解，即函数在区间内存在零点，这个区间长度为．要获得精确度为的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间的中点，又，，则．根据函数零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，即在区间内存在实数解，区间长度为，因此，区间内任意一个数都是满足精确度的近似解． 追问5：如果要获得精确度为的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？ 答案：当精确度为时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值． 追问6：给定精确度，为什么当时，区间中任意一个值都是满足精确度的近似值？ 答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值与其准确值的接近程度．近似值的误差不超过某个数，即，就说它的精确度是．所以当时，所在的区间中任意一个值与的误差都不超过，当然也就不超过．区间中任意一个值都是满足精确度的近似值． 追问7： 我们已经将实数解所在的区间从缩小到了，根据追问5确定的方法，再取区间的中点，用计算器算得．因为，所以零点在区间内．请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小区间，直到区间长度小于为止．将你的计算结果填写在下表中，并据此画出函数在区间内的大致图象． 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 2 -1.307 3 1.099 1 第2次 2.5 -0.084 3 1.099 0.5 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 答案： 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 2 -1.307 3 1.099 1 第2次 2.5 -0.084 3 1.099 0.5 第3次 2.5 -0.084 2.75 0.512 0.25 第4次 2.5 -0.084 2.625 0.