5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第五章 函数应用 5.1 方程解的存在性及方程的近似解 5.1.1 利用函数性质判断方程解的存在性 · 教学目标 1.理解求方程的实数解就是求函数的零点，体会函数的作用． 2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养． · 教学重难点 · 重点：理解零点存在定理． 难点：理解零点存在定理的条件． · 教学过程 一、情境导入 情境：在初中，我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，能否换一种方法，从函数的角度研究如何判定一元二次方程实数根的存在性呢？ 设计意图：回顾初中一元二次方程实数根的判别方法，提出问题，启发学生从函数角度进行思考，为讲解新知铺垫． 二、新知探究 问题1：如何从函数的角度判定方程实数根的存在性呢？ 探究：观察函数的图象，容易得出，它的图象是开口向上的抛物线，且，，， 由于函数的图象是连续的曲线，因此点与点之间的那部分曲线必然穿过轴，即在区间内必有一点，使；同理，在区间内也必有一点，使．因此，方程有两个不相等的实数根． 使得的数称为方程的解，也称为函数的零点．的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标． 追问1：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？ 答案：方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点． 追问2：函数的零点是点吗？ 答案：由函数零点的定义可知，函数的零点是使得的数，故函数的零点是数，不是点． 问题2：如图，观察函数，零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，你能用，的取值刻画这种关系吗？ 答案：可以发现，在零点附近，函数，图象都是连续不断的，并且穿过轴． 函数在端点和的取值异号，即，函数在区间内有零点，它是方程的一个根．同样地，，函数在内有零点，它是方程的另一个根． 函数在端点和的取值异号，即，函数在区间内有零点，它是方程的一个根． 追问2：你能将上面两种情况加以概括，说说它们的共性吗？ 答案：在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”轴，零点两侧的函数值符号相反，即． 追问3：如果函数在区间上满足，是否一定能得到函数在区间内存在零点？为什么？ 答案：不一定．如，，，，但是该函数在内没有零点．因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过”轴． 追问4：除了函数在区间上满足，根据前面的讨论，我们可以追加什么条件就能保证函数在区间内存在零点？ 答案：函数的图象在给定区间上的图象连续不断． 由此，我们得到了一种判断方程的解的存在性的方法： 零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 追问5：函数零点存在定理的结论是“在区间内方程至少有一个解”，这是否说明，如果满足零点存在定理的条件，那么方程在区间内只有一个解？请举例说明． 答案：定理中“在区间内方程至少有一个解”，只说明了方程解的存在性，并不能判断具体有多少个解． 比如：三次函数，在区间上的图象连续不断，且，但是该函数在区间内有三个零点，和．即方程在区间内有三个解，因此，运用零点存在定理只能判断方程解的存在性，对于解的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究． 追问6：若，则方程在区间内一定没有解吗？ 答案：不一定； 如上图，显然，但方程在区间内有个解． 再比如，函数在区间上，有，，所以．但该函数在区间内明显有零点． 由以上的讨论可知：若函数在闭区间上图象连续，则是方程在区间内有解的充分条件而非必要条件． 三、应用举例 例1: 方程在区间内有没有解？为什么？ 解：设函数，在区间上有 ， ． 又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解，故方程在区间内有解． 例2: 判定方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 解：设函数，显然有．画出函数的图象，如下图： 观察得，，． 在区间，内分别应用零点存在定理，可知在区间，内，一元二次方程各有一个实数根． 所以方程有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于． 例3：求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形． 证明：记封闭曲线为，在初始时刻的外切四边形为矩形，它的边长分别为和．若，则结论成立；若，不妨设． 现在，保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与外切，设转动角为，则与边长之差可以看成在上的连续函数，且，．由函数的零点存在定理可知，一定存在，使．这时，，封闭曲线的外切矩形是正方形． 四、课堂练习 1.已知函数的图像是连续不断的，有如下，的对应值表： 则函数在区间上的零点至少有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.函数的