4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 · 教学目标 1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验． · 教学重难点 · 重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由． · 教学过程 1、 新课导入 我们已经知道，给定常数a，b，c，指数函数()、对数函数()、幂函数(，)都是增函数；而且当的值趋近于正无穷大时，的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样? 设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲. 二、新知探究 问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢? （经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.） 猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢? 经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的和，观察下表． 1 2 4 8 16 32 64 128 256 0 2 3 4 6 8 10 12 14 16 （学生分析数表得出增长结论．） 结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数比对数函数增长快，而且快很多． (2)再比较具体的和，观察下表： 2 1 结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数比幂函数增长快，而且快很多． 设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受． 问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征． 　答案： 函数 性质 () () () 在上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 在上随x增大图象平稳上升 追问：试对指数函数()、对数函数() 、幂函数(，)的不同增长情况进行比较． 答案随着x的增大，的函数值增长远远大于的函数值增长；而的函数值增长又远远大于的函数值增长． 在区间上，当时，当x足够大时，随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则越来越慢． 因此，总会存在一个，使得当x时，一定有 > >，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”． 总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型． （2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型． （3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上． 三、应用举例 例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗? 解 第格放的米粒数显然符合指数函数(x{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求．假定每1000颗麦子重40克，3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求． 例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案? 解 令第天，回报为元 方案一： 方案二： 方案三： 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 方案一 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 方案二 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 方案三