4.3一元二次不等式的应用教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.3一元二次不等式的应用 ( 教学目标 ) 利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题． ( 教学重难点 ) 教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法． 教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式． ( 课前准备 ) PPT课件 ( 教学过程 ) 一、知识回顾 问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格. 师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错. 预设的答案： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 教师讲解： （1）函数的角度：一元二次不等式表示二次函数的函数值大于0，图象在轴的上方；一元二次不等式的解集即二次函数图象在轴上方部分的自变量的取值范围.（2）方程的角度：一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根. 设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍. 问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？ 师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现. 预设的答案： 设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助. 二、新知探究 例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满，该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.，每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ 问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？ 师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解，完成之后展示交流，师生点评修改，教师给出解答示范. 预设的答案： （1）设每间客房日租金提高个10元； （2）列出关于未知数的不等式； （3）解不等式，确定的范围； （4）考虑到所以x只能取整数，即当每间客房日租金提高20元，30元，......，50元时，每天客房的租金总收入不低于1800元. 解答：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80 + 10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为元. 又因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以 化简，得 解得 . 所以 . 由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以.因此， 该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元. 设计意图：对实际问题深入分析，确定不等关系，解不等式，感受到由“形”到“数”的转换过程．通过问题体会二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系，体会用一元二次不等式解决实际问题的意义，掌握利用一元二次不等式解决实际问题的基本步骤. 例2 ：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成 本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的销售量单位：件)与销售单价(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：. (1) 设袁阳每月获得的利润为(单位：元)，写出每月获得的利润与销售单价的函数关系.物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的 利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 问题4：该问题中的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？ 师生活动：教师给学生充足的时间独立思考并作答，再做课堂展示，教师巡视，对有困难的同学进行个别指导. 预设的答案： （1）列出每月获得的利润与销售单价的关系式； （2）列出关于未知数的不等式； （3）求解所列出的不等式； （4）考虑到这种节能灯的销售单价不得高于25元，从而确定答案. 解： (1)依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价(的函数关系为 (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 . 化简，得 . 解得 . 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25 ． . 设政府每个月为他承担的总差价为元，则 . 由 .得 . 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为. 设计意图：提升学生独立解决问题的能力，体现数学的应用价值. 3、 初步应用 公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1