4.3.3 对数函数y=log_ax的图象和性质教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.3.3对数函数的图象和性质 教学目标 1.掌握对数函数的图象和性质. 2.理解反函数的核心概念,能用对数函数的性质解决应用问题. 教学重难点 重点:掌握对数函数的图象和性质﹒ 难点:底数的变化对对数函数图象和性质的影响. 教学过程 1、 新课导入 我们研究了的图象和性质,那么函数的图象是怎样的,又具有什么性质呢? 二、新知探究 问题1 画出对数函数的图象,并说出它的性质. 同样用两种不同的方法画出函数的图象. 方法1 描点法. 先列表 1 2 4 8 2 1 0 -1 -2 -3 再用描点法画出图象 方法2 由指数函数的图象得到对数函数的图象: 由于对数函数和指数函数所表示的和这两个变量之间的关系是一样的,因而在同一平面直角坐标系中函数和的图象是一样的(如下图(1)(2)) 对于对数函数,习惯上,通常用表示自变量,表示函数值,因此把轴和轴的字母表示互换,就得到的图象(如图(3)). 习惯上,轴在水平位置,轴在竖直位置,因此将图象翻转,使轴在水平位置,得到通常的的图象(如图(4)). 从图象可以看出: 函数的图象位于y轴的右侧;从靠近y轴最上端的位置逐渐下降,过点( 1,0),继续下降,函数值越来越小,直至无穷小. 由此得到函数的性质: 函数在定义域上是减函数,且值域为R. 当0<x<1时,y0;当x>1时,y0; 当x趋近于正无穷大时,y趋近于负无穷大; 当x趋近于0时,y趋近于正无穷大. 问题2 请同学们想一想,更一般地,当时,的图象是什么样的?有怎样的性质呢? 答案:结合上节课所学知识,及函数的图象可知当时,的图象如图 从图象可以看出: 函数的图象位于y轴的右边;从靠近y轴最上端的位置逐渐下降,过点( 1,0),继续下降,函数值越来越小,直至无穷. 由此得到当时,函数的性质: 在定义域上是减函数,且值域为R. 当0<x<1时,y0;当x>1时,y0; 当x趋近于正无穷大时,y趋近于负无穷大; 当x趋近于0时,y趋近于正无穷大. 问题3 上节课我们研究了的图象和性质,回忆上节课的内容,请同学们总结一下,当时,的图象是什么样的?有怎样的性质呢? 答案:由函数的图象可知,当时,的图象如图所示: 从图象可以看出: 函数的图象位于y轴的右边;从靠近y轴最下端的位置逐渐上升,过点( 1,0),继续上升,函数值越来越大,直至无穷. 由此得到当时,函数的性质: 函数在定义域上是增函数,且值域为R. 当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0; 当x趋近于正无穷大时,y趋近于正无穷大; 当x趋近于0时,y趋近于负无穷大. 总结:对数函数(a>0,且a≠1)的图象和性质如表 图象 性质 (1)定义域:(0,) (2)值域:R (3)过定点:(1,0),即时,0 (4)当时,;当时,. (4)当时,;当时,. (5)在定义域(0,)上是增函数; 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,)上是减函数; 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 问题4 对于对数函数, a的变化对函数图象有何影响? 答案:当时,越大,对数函数的图象在向右的方向越接近x轴.当x趋近于0时,图象越趋近于y轴. 当时,越小,对数函数的图象向右的方向越接近x轴.当x趋近于0时,图象越趋近于y轴. 三、应用举例 例1 设,且,求下列函数的定义域:(1);(2). 解 (1)为使函数有意义,只需,即,所以函数的定义域为; (2)为使函数有意义,只需>0,即,所以函数的定义域为. 例2 比较下列各题中两个数的大小:(1),;(2),; (3),;(4),. 解 (1)因为2>1,所以函数在定义域(0,)上是增函数.由5.3>4.7,得. (2)因为0<0.2<1,所以函数在定义域(0,)上是减函数.由7<9,得. (3)因为3>1,所以函数在定义域(0,)上是增函数.由,得 同理可得.因此. (4)对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此需要对底数进行分类讨论. 当a>1时,函数在定义域(0,)上是增函数,此时由3.1<5.2,得; 当0<a<l时,函数在定义域(0,)上是减函数﹐此时由3.1<5.2,得. 例3 若,,则a,b,c的大小关系为 . . 解 因为在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4, 所以>>>,即1>a>0>c. 同理>=1,所以b>a>c. 例4 若<1,则a的取值范围为 . 解 <1,即<,当a>1时,函数在定义域内是单调递增,所以<总成立; 当0<a<1时,函数在定义域内是单调递减,由<,得a<,即0<a<. 综上可知,a的取值范围为(0,)