4.3.2 对数函数y=log_2x的图象和性质教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.3.2对数函数的图象和性质 · 教学目标 1．掌握对数函数的图象和性质． 2．理解反函数的核心概念，能用对数函数的性质解决应用问题． · 教学重难点 · 重点：1.掌握对数函数的图象和性质． 2.体会对数函数与指数函数互为反函数． 难点：由指数函数图象得到对数函数的图象． · 教学过程 一、新课导入 我们知道对数概念与对数运算都是建立在指数概念、指数运算的基础上的，通过学习，我们认识到对数函数与指数函数的有着密不可分的联系，今天我们在这个基础上研究对数函数的图象和性质．首先先选择一个具体的对数函数进行研究． 二、新知探究 问题1：如何画出函数的图象呢? 可以采用描点法作图． 先列表 1 2 4 8 -2 -1 0 1 2 3 再用描点法画出图象 追问1：我们已经学习了指数函数与对数函数的关系，能否利用这个关系画出函数的图象呢? 由指数函数的图象得到对数函数的图象： 由于对数函数和指数函数所表示的和这两个变量之间的关系是一样的，因而在同一平面直角坐标系中函数和的图象是一样的（如下图（1）（2）） 对于对数函数，习惯上，通常用表示自变量，表示函数值，因此把轴和轴的字母表示互换，就得到的图象(如图(3))． 习惯上，轴在水平位置，轴在竖直位置，因此将图象翻转，使轴在水平位置，得到通常的的图象(如图(4))． 追问2：尝试在同一坐标系中画出函数与函数的图象，进一步体会互为反函数的两个函数图象之间的关系． 答案： 对函数图象上的任意一点P(a ，b)，有．点P关于直线的对称点是Q(b，a)，而，即点Q总在函数的图象上(如图)．所以，函数的图象与函数的图象关于直线对称． 同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称．反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 问题２：能不能由图象直观得到函数的性质呢？ 答案：从函数的图象可以看出： 函数图象位于y轴的右侧；从靠近y轴最下端的位置逐渐上升，过点( 1，0)，继续上升，函数值越来越大，直至无穷． 由此得到函数的性质: 函数在定义域上是增函数，且值域为R． 当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0； 当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大； 当x趋近于0时，y趋近于负无穷大． 三、应用举例 例1 比较下列各题中两个数的大小:（1），；（2），． 解 (1)因为函数在定义域上是增函数，且0.25<0.3，所以; (2)因为函数在定义域上是增函数，且1<3.5<4.5，所以， 因此． 例2 (1)求使不等式5成立的实数的集合; (2)己知，求的值． 解(1)将不等式 5变形为． 因为函数在定义域上是增函数，所以x >32． 故使不等式 5成立的的集合为{x |x >32}． (2)由已知等式，得．解得． 为使对数和均有意义，需要>0和0． 因此不合题意，舍去．所以的值为5． 四、课堂练习 1.比较下题中两个数的大小: ，； 2.求使下列不等式成立的实数的集合: ； 参考答案：1.因为函数在定义域上是增函数，且0.80.3，所以; 2.(1)将不等式变形为． 因为函数在定义域上是增函数，所以 ．则． 故使不等式成立的的集合为{x |}． 5、 课堂小结 函数的性质：函数在定义域上是增函数，且值域为R．当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0；当x趋近于正无穷大时，y趋近于正无穷大；当x趋近于0时，y趋近于负无穷大． 六、布置作业 教材第113页习题4-3A 组第1-2题﹒ 学科网（北京）股份有限公司 $$