2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值 1．如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上． (1)求该抛物线的表达式． (2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标． (3)在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值； (3)如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标． 3．如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，求直线的解析式； （3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值； （4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数的最大值和最小值； （3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 5．抛物线（）与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上方且平行于轴的直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的面积； （3）若是对称轴上一定点，是抛物线上的动点，求的最小值（用含的代数式表示）． 6．已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上． （1）若点也在上述函数图象上，满足． ①当时，求的值； ②若，设，求w的最小值； （2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值； （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）平行于轴的直线与抛物线交于两点（点在点的右边），若，求两点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的动点，经过点的直线与轴交于点，连接，求的面积的最大值和最小值． 10．在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示． ①求面积的最小值． ②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．      （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 12．如图一，抛