精品解析：河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高二上学期1月测试数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高二上期元旦测试 数学试题 分值：150分 时长：120分钟 一､单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 点集表示的曲线总长度等于（ ） A. B. C. D. 3. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据：） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 4. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二､多选题 9. 已知，直线，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 在三棱锥中，与都是边长为的正三角形，且二面角为直角，则下列结论正确的有（ ） A. ⊥ B. 与平面所成角为 C. 上存在一点Q，使得为钝角 D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，下面说法正确的是（） A. 若，则最大值为2 B. 若，则最大值为 C. 若，则最大值为 D. 若，则最大值1 12. 已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. 为定值 D. 三､填空题 13. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________. 14. 已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为______. 15. 若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则______. 16. 已知分别是双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于，两点.若四边形的面积为，则的离心率为__________. 四､解答题 17. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为，，． （1）求AB边中线所在直线的方程； （2）求△ABC外接圆的一般方程． 18. 已知数列满足，，记． （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前n项和为，求数列的前n项的和． 19. 记内角，，所对的边分别为，，，，，点在边上，且. （1）求证： （2）若，，求的面积. 20. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点N为线段AD的中点且时，求证：直线平面； （2）当点N在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围． 21. 在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立． （1）若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率； （2）求第n次射击的人是乙的概率． 22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为. （1）求椭圆标准方程； （2）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为， （i