2024年九年级中考数学压轴复习 二次函数之矩形存在性问题

中考数学压轴题专项练习 二次函数之矩形存在性问题 1．（2022秋•交城县期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，直线经过A，C两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D在线段AC上运动，且，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，设N为平面内一点，点M在抛物线上运动，问是否存在以A，D，M，N为顶点，AD为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点（点A在点B的右侧），点、，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点E，点P为抛物线上点D，E之间的一动点，连接AC，AE，AP，CE，CP，线段AP，CE交于点G，记的面积为，的面积为，且，求S的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度后得到新抛物线，点Q是新抛物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R，使得以点P、Q、B、R为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R的坐标． 3．（2023秋•黄埔区校级期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，过点P作轴交AC于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023•沈河区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及D点坐标 （2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求面积的最大值 （3）点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 5．（2023•莱山区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023秋•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为直线BC下方抛物线上一动点，过点P作于点D，在射线DC上取一点E，使得，连接PE，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线CB的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点M是新抛物线与原抛物线的交点，点N是新抛物线对称轴上一动点，在平面内确定点Q，使得以A，M，N，Q为顶点的四边形是矩形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标其中一种情况的过程． 7．（2023•泰山区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，DQ交BC于点P，交x轴于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值； （3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（2023秋•长寿区校级月考）如图，已知抛物线经过点、，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； （3）点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点G，使得以点A、D、F、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023•建湖县三模）平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点是“二倍点”． （1）在点，，中，是“二倍点”的有 ； （2）若点E为双曲线上任意一点． ①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？ ②若将点E向右平移一个单位，