五含指数、对数函数形式的变形讲义-2024届高三数学二轮专题复习

2024年高考二轮复习五含指数、对数函数形式的变形知识精讲 遍览全国高考导数大题,含有指数函数和对数函数等形式的超越函数是命题热点,但是这类问题学生往往不知从何下手.如果求导,不仅导函数复杂,而且很多时候还不能解决问题.其实,这类问题的一般思路是利用条件,对其进行变形,构造新函数,通过对新函数的研究解决问题,对学生而言,讲能听懂,但如何对这类超越函数、方程或不等式进行合理变形,再构造新函数,将问题进行转化与简化却不是很清楚.其实这是有规律可循的,可利用结构和形式的特点进行变形与转化.经研究,含指数、对数函数形式的超越函数、方程、不等式的处理方法,有两个层次:一是若单独含有指数或对数,运用好“指数找朋友,对数单独走”的变形原理;二是若指对混合形式,从数和形的角度有四种方法:形的角度是切线放缩、数的角度有分离指对,凹凸反转和指对同构.不分离指对时,虚设隐零点.这是解这类题目的思维与灵魂所在. 本讲以高考题为主,探讨含有指数函数和对数函数类型的超越函数的五大变形技巧,并对此类问题作展现和剖析,对解题方法作研究和总结.同时,我们也哀心希望读者在阅读学习过程中,以文中内容为引,能对数学的研究有初步的了解,今后能自主探索数学的无穷奥秘. 单一含有指数或对数函数不等式的变形技巧 5.1指数找朋友,对数单独走 研究密钥 1.在证明或处理含对数函数的不等式时,通常要将对数型的函数“独立分离”出来,这样再对新函数求导时,就不含对数了,只需一次就可以求出它的极值点,从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程,我们形象地称之为“对数单独走”. 例如,由(这里设),则不含超越函数,求解过程简单. 2.在证明或处理含指数函数的不等式时,通常要将指数型的函数“结合”起来,即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数,这样再对新函数求导时,只需一次就可以求出它的极值点,从而避免了多次求导.这样相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程,我们形象地称之为“指数找朋友”. 例如,由,则是一个多项式函数,变形后可很大程度地简化运算. 例5.1已知函数,当时,恒成立,则实数的取值范围为。 分析思路一:函数求导,根据导函数为0得到分类讨论的节点,然后分别讨论;思路二:按照“指数找朋友”的策略对不等式变形处理,研究转化后函数的单调性与极值. 解析解法一(分类讨论):由,又,所以,因此当,即时,,而,于是当时,,满足题意. 又,可得,所以当时,. 因为,所以,故当时,,而,于是当时,,不合题意.综上所述,实数的取值范围为. 解法二(指数找朋友):因为,所以当时,恒成立,故只需讨论的情形. 令,问题等价于,由得. (1)当时,在上单调递减,恒成立. (2)当时,因为在上单调递增,,此时不恒成立,不合题意. 综上所述,实数的取值范围为. 变式1:已知函数,当时,,求的取值范围. 分析遇到的形式变形为,其求导后的结果是,其导数方程是多项式形式,所以它的根与指数函数无关,有利于更快捷地解决问题。 解析等价于. 设函数,则 (1)若,即,当时,,所以在上单调递增,而,故当时,,不合题意. (2)若,即,则当时,. 当时,,所以在上单调递减,在,2)上单调递增.又,所以当且仅当,即时成立,即当时,. (3)若,即,则. 由于,故由(2)可得,故当时,. 综上所述,的取值范围是. 评注 解决形如常见结论(有时甚至),从形的角度看,它揭示了曲线与其切线的位置关系,从数的角度看,它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法,从而顺利突破难点. 例5.2若不等式对所有都成立,求实数的取值范围. 分析：根据“对数单独走”的原则,不等式等价于,以下再通过分析函数的単调性与极值,求的取值范围. 解析,则. (1)当时,恒成立,即在上单调递增,因而恒成立. （2）当时,令,则在上单调递减,在上单调递增,,不合题意. 综上所述,实数的取值范围是. 评注 上述解法优势在于将的系数化“1”后,就可以有效避免求导后再出现对数函数,避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在. 变式1:已知,若在上恒成立,求的最小值. 分析若令函数,首先注意到,可知,即便如此,由,可见必须还要对导函数求导才行.再令,那么,而的零点依然难求,非常烦琐,所以可以考虑先将不等式进行变形,把独立出来,再构造函数研究. 解析.令函数,则须求在上恒成立时的取值范围. 由于,当时,,不符合题意,故只需考虑的情况. 因为,且,故当时,,单调递减;当时,单调递增. 所以,解得,故的最小值为. 含有混合形式的不等式的变形技巧 5.2从数与形看变形转化 1. 从数的观点看:分而治之与合而歼之 含指、对数混合形式的不等式证明之所以难,其根本原因在于指数与对数是水火不容的,其导函数的零点一般不可求,因此常分离和以便于求导