三次函数的图像与性质 讲义——2024届高三数学二轮复习

2024年高考二轮复习 四 三次函数的图像与性质知识精讲 函数与导数一直是高考中的热点与难点,其中三次函数是一类重要的函数,我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力.由于三次函数的导数是二次函数,使得我们可以利用二次函数较为深入地研究三次函数的图像与性质，以及三次方程的解的个数的问题,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点. 三次函数规律性强,内容相对独立,且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论,可以大大简化解题过程. 本讲研究了三次函数的图像与性质,以及三次方程的根的判别式与韦达定理等问题,愿我们借助这些题目能够更好地、更深刻地认识三次函数。 4.1三次函数的图像 【研究秘钥】 三次函数的大致图像如“N”型,其中为导函数的判别式. 图像 单调区间 在, 上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 在, 上是减函数 在上是增函数 在上是减函数 极值 无极值 无极值 例4.1(2021新课标全国乙卷理10)设,若为函数的极大值点,则(). A. B. C. D. 【分析】当时,无极值点;当时,分和两种情况,结合三次函数的性质可得答案. 【解析】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故. 所以有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的. 依题意,为函数的极大值点,所以在左右附近都是小于零的.当时,有,画出的图像如图(a)所示.由图可知,故.当时,有,画出的图像如图(b)所示.由图可知,故.综上所述,成立.故选D. 图(a)图(b) 变式1:(2020浙江卷9)已知且,若在上恒成立,则(). A. B. C. D. 【分析】分与两种情况讨论,结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【解析】设. (1)当互不相等,若对于,都有,则.如图(a)所示. (2)当中有相等的情形,则只能是或.当时,如图(b)所示,则. 当时,即,如图(c)所示,显然不满足题意,故舍去. 当时,即,如图(d)所示,则即可. 综上所述,满足题设条件的.故选C. 【评注】运用数形结合思想,抓住三次函数图像的特征,合理分类讨论,判断的范围,得到共同性质。 三次函数的性质 4.2对称性 【研究秘钥】1.三次函数是中心对称函数 仔细观察图像,我们不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证，解解法一:设,得 ,整理得. 根据多项式恒等对应系数相等,可得且,从而三次函数是中心对称曲线,且由知其对称中心仍然在曲线上. 故对称中心为. 解法二:设三次函数的对称中心是,按照向量将函数图像平移,则函数为奇函数,所以. 代入化简得对恒成立.故,解得, 所以对称中心为. 这里的是否具有特殊的意义? 对函数进行两次求导,,再令其等于0,可得到,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足的正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图像吻合. 引申:函数与其导函数的对称性关系 (1)是可导函数,且其图像关于点对称,则图像关于直线对称. 证明:由图像关于点对称,得. 因为, 所以 . 所以,即图像关于直线对称. (2)是可导函数,且其图像关于直线对称,则图像关于点对称. 证明:由图像关于直线对称,得. 因为, 所以 所以,即图像关于点对称. 2.三次函数极值点与对称中心的关系 若三次函数有极值,则它的对称中心是两个极值点的中心.证明:设的两根为,则. 设的两个极值点为,则 . , 所以 的中点即为对称中心. 例4.2已知函数,则() A.2021 B. C.2022 D. 【分析】为三次函数，找到对称中心，利用对称性解决即可. 【解析】由,可得. 令,得,又,所以对称中心为, .故选B. 变式1:已知函数图像关于对称,且满足的任意实数有,则实数的最大值为_________. 【解析】.因为函数的图像关于点对称,所以且,解得,所以. 又因为对满足的任意实数有,所以在上单调递减,令,解得,所以实数的最大值为3. 变式2:函数,若,则下列不等关系成立的是(). A. B. C. D. 【解析】. 由可知三次函数的对称中心为,所以•,解得,故 , 故在上单调递减,在和上单调递增. 由得, 又, 于是可得 ,故正确,不正确. 又,故B,D都不正确. 综上可知,故选A. 变式已知,函数. (1)求证:的图像关于点对称; (2)当时,求的最大值. 【解析】(1)要证明的图像关于点对称,等价于证明. 由,因此函数的图像关于点对称. (2)设. 令,得 . (1)当时,,此时在上单调递增, 所以, 又,且, 所以,此时. (2)当时,,此时在上单调递减, 所以. (3)当时,令,得, 因此在,上单调递