湖北省武汉市第十一中学2023-2024学年高二上学期数学周练试卷（2024年1月6日）

武汉市十一中高二数学周练试卷20240106 命题人：彭卓俊 审题：夏世峰 一、单选题 1．已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列 C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列 3．在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 4．若为数列的前项和，且，则等于 A． B． C． D． 5．已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．8 6．已知双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为为曲线与的一个公共点．若，则（    ） A． B． C．3 D． 8．意大利数学家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.设是不等式的正整数解，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 9．关于双曲线，以下结论正确的有（    ） A．准线方程为 B．焦点到渐近线的距离为1 C．与双曲线两支各有一个交点的直线斜率的取值范围为 D．过点有且仅有2条直线与双曲线仅有一个公共点 10．已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．使得成立的最大自然数 D．中最小项为 11．圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，栯圆的离心率为，则以下说法正确的是（    ） A．离心率的取值范围为 B．存在点，使得 C．当时，的最大值为 D．的最小值为1 三、填空题 13．已知等差数列的公差为正数，且，，则其前20项的和 . 14．直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为 . 15．已知双曲线与椭圆的焦点重合，左准线方程为，设、分别为双曲线的左、右两个焦点，为右支上任意一点，则的最小值为 . 16．如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则 ． 四、解答题 17．已知数列的前n项和为，，且满足. (1)证明:数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，数列{}的前n项和为.求； 18.已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线l与双曲线交于线段恰被该点平分，求直线l的方程． 19．已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 20．已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 21．已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线E于点M、N，点为直线l：上一动点．问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的左右焦点分别为、，直角坐标原点记为．设点，过点作倾斜角为锐角的直线与椭圆交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上有一动点，求的取值范围； (3)设线段的中点为，当时，判别椭圆上是否存在点，使得非零向量与向量平行，请说明理由。 参考答案： 1．C 【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案. 【详解】方程变形为， 表示动点到点和直线的距离相等， 所以动点的轨迹是以为焦点的抛物线， 故选：C. 2．B 【分析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差