2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数中的特殊三角形问题

二次函数中的特殊三角形问题 1．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点分别是，，点A在上，以A为顶点的抛物线过点，且对称轴交轴于点．连接，，点，为动点，设运动时间为秒．    (1)填空：点A坐标为______；抛物线的解析式为______． (2)在图①中，若点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，同时，点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当为何值时，为直角三角形？ (3)在图②中，若点在对称轴上从点A开始向点以个单位秒的速度运动，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点，连接，．当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边上的一动点，F为边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值； (3)如图2，N为射线上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E．      (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积最大值； (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； (3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．      (1)求抛物线的表达式； (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与轴相交于点，，对称轴是，与轴相交于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与x轴有着相同的交点、B（点B在点A右侧），抛物线与y轴交点为G，抛物线与y轴交点为H．    (1)求a的值． (2)如图①，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接，点F在x轴上，当点F的坐标为何值时，是以为底的等腰三角形？ (3)如图②点M是x轴下方抛物线上的一个动点，过点M作轴于点N，交抛物线于点D，试探究：在M点的运动过程中，的比值是否为一个定值