专题04 周期性与对称性及应用12种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)

专题04 周期性与对称性及应用12种常见考法归类 解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 应用周期性求值 考点二 应用周期性求解析式 考点三 单个函数的周期性迭代 考点四 两个函数的周期性迭代 考点五 类周期函数 考点六 周期性与零点问题 考点七 判断或证明函数的对称性 考点八 由对称性求函数的解析式 考点九 由函数对称性求函数值或参数 考点十 由对称性研究单调性 考点十一 函数对称性的应用 考点十二 函数性质的综合 一、函数的周期性 1. 函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．（注：若是函数的一个周期，则(且)也是函数的周期；） (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期． 2.函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件。 周期函数f(x)满足的条件 周期 f(x＋a)＝f(x－a) 2a f(x＋a)＝－f(x) 2a f(x＋a)＝－ 2a f(x＋a)＝ 2a 关于直线x＝a与x＝b对称 2|b－a| 偶函数，关于直线x＝a对称 2a 关于点(a,0)与点(b,0)对称 2|b－a| 奇函数，关于对称 关于直线x＝a与点(b,0)对称 4|b－a| 奇函数，关于直线x＝a对称 4a 4a 3.周期性的应用 （1）函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质. （2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴. （3）单调性：由于间隔kT(k∈Z)的函数图象相同，所以若函数y=f(x)在(a,b)(b-a≤T)上单调增(减),则y=f(x)在(a+kT,b+kT)(k∈Z)上单调增(减). 注： 奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。 二、函数的对称性 1、函数自身的对称性 (1)函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。 (2)函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。 2、不同函数对称性 (1)函数与的图像关于直线成轴对称。 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与 图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 (2)互为反函数的两个函数关于直线对称。 三、内同表示周期性，内反表示对称性 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 考点一 应用周期性求值 1．（2023上·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则 ． 2．（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 3．（2023上·云南昆明·高一校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则 . 4．（2023·山东日照·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A．0 B． C． D．3 6．（2023上·广西梧州·高一校考期末）已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023上·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．2 C．0 D．2023 8．【多选】（2023上·湖北·高一湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 考点二 应用周期性求解析式 9．（2023·全国·高一随堂练习）周期函数的图象如图．    (1)求函数的最小正周期； (2)写出函数的解析式． 10．（2023上·江苏·高一专题练习）设是周期为2的奇函数，当时，，则时，＝ ． 11．（2023·全国·高三对口高考）函数的周期为，且当时，，则，的解析式为 ． 12．（2023上·湖南株洲·高一校考