题型五 数列讲义——2024届高考数学高频题型专项讲解

题型五 数列 ——高考数学高频题型专项讲解 一、思路分析 数列的概念和递推公式是高考的热点,主要考查已知递推关系求通项公式、由与的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等,主要以填空题、解答题的形式呈现,难度中等. 等差数列是高考的重点考查知识,主要考查等差数列的基本运算和性质,等差数列的通项公式和前n项和公式等,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题,要善于运用函数与方程思想和整体带入思想解决有关等差数列问题,同时要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练. 等比数列是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意证明题或以数学文化为背景的数列题,考查题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度中等,要会运用函数与方程思想、转化与化归思想和分类讨论思想解题,也要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练. 数列求和及数列综合应用是高考的热点题型,其中等差、等比数列的通项与求和,数列与函数、不等式的综合,以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,难度中等,要注重常规考法,也要注重数列与其他知识的综合创新,同时也要注重对结构不良类试题的训练. 二、考纲要求 1.数列的概念和递推公式 (1)了解数列的概念及表示方法,理解数列的通项公式的意义. (2)理解数列的递推公式,能根据递推公式写出数列的前几项. (3)理解与的关系. 2.等差数列 (1)理解等差数列的概念和通项公式的意义. (2)掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. (3)了解等差数列与一次函数的关系. 3.等比数列 (1)理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. (3)了解等比数列与指数函数的关系. 4.数列求和及数列综合应用 (1)掌握几种常用的数列求和方法. (2)掌握数列的综合应用. 三、方法技巧 1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略: (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③各项的符号特征和绝对值特征; ④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系; ⑤对于符号交替出现的情况,可用或,处理. 2.等差数列前n项和的最值求解得常用方法 (1)通项公式法:其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项,从而求得和的最值; (2)前n项和法:其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性,借助抛物线的图象求最值. 3.利用等差数列前n项和解决实际问题的步骤: (1)判断问题中涉及的数列是否为等差数列; (2)若是等差数列,找出首项、公差、项数; (3)确认问题是求还是; (4)选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解. 4.解决等差数列前n项和的基本运算题的思路方法及注意事项: (1)注意公式与的选择使用; (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量,,,,,已知其中三个就能求另外两个,注意方程思想的应用; (3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法,同时注意灵活应用等差数列的性质以简化计算过程. 5.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤 (1)构建等比数列模型; (2)明确,q,n,等基本量; (3)利用求解; (4)还原为实际问题. 6.判定数列是等比数列的常用方法: (1)定义法:验证(q为常数且不为0)是否成立,但应注意必须从第二项(即)起所有项都满足此等式; (2)等比中项法:验证(,且)是否成立; (3)通项公式法:验证是否成立,但应注意隐含条件是,. 7.解决等比数列前n项和的实际应用问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学语言,将实际问题转化为数学问题; (2)构建等比数列模型; (3)利用等比数列的前n项和公式求解等比数列问题; (4)将所求结果还原到实际问题中. 8.等比数列基本运算中的常用技巧: (1)(对称设元)一般地,若连续奇数个项成等比数列,则可设该数列为;若连续偶数个项成等比数列,则可设该数列为(注意:此时公比,并不适合所有情况).这样既可减少未知量的个数,也使得解方程较为方便. (2)求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等,同时还要注意合理运用. 9.用错位相减法解决数列求和问题的步骤: (1)判断结构:若数列是由等差数列与等比数列(公比q)的对应项之积构成的,则可用此法求和; (2)乘公比:设的前n项和为,然后两边同乘以q; (3)错位相减:乘以公比q后