精品解析：湘豫名校联考2023-2024学年高二上学期1月阶段性考试数学试题

湘豫名校联考2023—2024学年高二（上）1月阶段性考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上的指定位置，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 从小到大排列的一组数据：29，31，a，39，42，58.若第60百分位数与平均数相等，则该组数据的中位数为（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 3. 已知抛物线的焦点为，点是上一点，FM的延长线交的准线于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 1640年法国数学家费马提出了猜想：是质数，我们称为“费马数”.设，若，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 某次数学测试只有两道题目，若甲答对第一道题和第二道题的概率分别为，乙答对第一道题和第二道题的概率分别为，甲、乙两人独立解题，每人各题答对与否互不影响，则这两道题都被答对的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线分别为左焦点和右顶点，点是上的点，若的面积为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，当时，（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆和圆，点P，Q分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 与圆和圆都相切的直线有三条 B. 直线与圆和圆都相切 C. 的取值范围是 D. 过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则存在点，使得 10. 已知数列的前项和为，，且对任意正整数，恒成立，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 11. 在正方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与BE所成的角为 C. 直线交平面于点，则 D. 直线与平面所成角的正弦值为 12. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 椭圆上存在点，使得 C. 是椭圆上一点，若，则 D. 若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知向量，若，且，则______. 14. 已知直线与圆相交，则当圆截直线所得的弦长最短时，直线的方程为______. 15. 已知正项等差数列中，，其中，6，构成等比数列，，数列的前项和为，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 16. 在直三棱柱中，，且，已知为线段中点，设过点的平面为，则平面截此三棱柱的外接球所得截面的面积为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前项和为，当时，，数列中，. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求满足的的最大取值. 18. 已知抛物线，为的焦点，直线与交于不同的两点、，且点位于第一象限. （1）若直线经过的焦点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，为坐标原点，设的面积为，的面积为，求的最小值. 19. 已知等差数列前项和为，且满足，；数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 已知双曲线的右焦点为，且过点. （1）求的标准方程； （2）已知点A为的右顶点，M，N是上异于点A的两个不同点，且，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标. 21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，. （1）求点到平面ABCD的距离； （2）在棱上是否存在点，使得平面D