2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（面积问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（面积问题） 1．如图，已知关于二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，该二次函数图象的对称轴与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在轴上存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标； (3)有一个动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在上向点运动，另一个动点从点与点同时出发，以每秒2个单位长度的速度在该二次函数图象的对称轴上竖直向上运动，当点到达点时，点同时停止运动，请问点，运动到何处时，的面积最大，求出这个最大面积． 2．综合与探究 如图，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)直接写出点B，C的坐标并求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点Q，使得的面积有最大值?若存在，求点Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标； 4．如图，为平面直角坐标系坐标原点，抛物线经过点，，与轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上一点，连接、和，设点的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，为第四象限抛物线上一点，连接交轴于点，点在线段上，点在直线上，若，四边形为菱形，求点的坐标． 5．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点．直线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)连接是轴上的一点，当与（不包括全等）相似时，求点的坐标． (3)如图2，若点在抛物线上，连接，当m取何值时，的面积最大？并求出的面积的最大值． 6．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点P为第二象限内抛物线上一点，作直线，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)设直线：交拋物线于点M、N，无论k为何值，平行于x轴的直线：上总存在唯一点E，使得为直角，求t的值． 7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 8．如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； (3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m  ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 9．已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点关于该抛物线对称轴的对称点为点． (1)求该抛物线的解析式． (2)是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是直线上方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？请求出此时的最大值和点的坐标． 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B、C两点，求直线解析式和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标以及此时距离之和的最小值． (3)在抛物线上是否存在点P（不与C重合），使得的面积与的面积相等．若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 11．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)已知，为抛物线与轴的交点． ①求抛物线的解析式； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值； ③求面积的最大值． 12．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，直线与抛物线交于点M，N（点M在点N的右侧），交y轴于点P． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若，点M，N均在第一象限，且的面积为3，求k的值； (3)若，且点M在