复数复习专题讲义-2024届高三数学二轮复习

复数 1. 复数的定义： 形如（）的数叫复数，其中叫做虚数单位，叫复数的实部，叫复数的虚部。 2. 虚数单位： （1）它的平方等于，即； （2）的周期性：，，，（）。 3. 复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数（）， 当且仅当时，复数是实数； 当且仅当时，复数叫做虚数； 当且仅当且时，复数叫做纯虚数； 当且仅当时，复数就是实数0。 4. 复数相等的充要条件： 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 5. 共轭复数： 一般地，当两个复数的实部相等，而且虚部互为相反数时，那么这两个复数叫做互为共轭复数。 复数和（）互为共轭复数。 6. 复数的代数形式： 复数通常用字母表示，即（），叫做复数的代数形式。 7. 复数的混合运算： ； ； 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。 8. 复平面、实轴、虚轴： 点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 9. 复数的几何表示： （1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； （2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. 【题型1】复数的混合运算 1．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（　　） A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i 【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i． 故选：D． 2．（2020•海南）（1+2i）（2+i）＝（　　） A．4+5i B．5i C．﹣5i D．2+3i 【解答】解：（1+2i）（2+i）＝2+i+4i+2i2＝5i， 故选：B． 3．（2020•新课标Ⅱ）（1﹣i）4＝（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【解答】解：（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝﹣4． 故选：A． 4．（2020•山东）（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【解答】解：i， 故选：D． 5．（2023•甲卷）（　　） A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i 【解答】解：1﹣i． 故选：C． 【小结】 【题型2】复数相等、复数的逆运算 1．（2021•北京）若复数z满足（1﹣i）•z＝2，则z＝（　　） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i 【解答】解：因为（1﹣i）•z＝2， 所以． 故选：D． 2．（2021•乙卷）设iz＝4+3i，则z＝（　　） A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i 【解答】解：由iz＝4+3i，得z． 故选：C． 3．（2021•甲卷）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（　　） A．﹣1i B．﹣1i C．i D．i 【解答】解：因为（1﹣i）2z＝3+2i， 所以． 故选：B． 4．（2022•浙江）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（　　） A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3 【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R， ∴a＝﹣1，b＝3， 故选：B． 5．（2021•浙江）已知a∈R，（1+ai）i＝3+i（i为虚数单位），则a＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【解答】解：因为（1+ai）i＝3+i，即﹣a+i＝3+i， 由复数相等的定义可得，﹣a＝3，即a＝﹣3． 故选：C． 【小结】 【题型3】共轭复数 1．（2023•乙卷）设z，则（　　） A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i 【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i， ∴z ＝1﹣2i， ∴1+2i． 故选：B． 2．（2023•新高考Ⅰ）已知z，则z（　　） A．﹣i B．i C．0 D．1 【解答】解：z， 则， 故i． 故选：A． 3．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由i（1﹣