2023-2024学年七年级数学上学期极速16招 -第15招 方程思想在解题中的巧用

第15招 方程思想在解题中的巧用 例 典 例 剖 析 如果|x－2|与(2＋2y)2互为相反数，试求x2＋y的值． 解题秘方：对于反映数量关系或涉及某一概念中隐含数量关系的求值问题，运用方程思想，根据数量关系构建方程是解决问题的最佳方法．本例中两个数互为相反数，则两个数的和为零，因此得到|x－2|＋(2＋2y)2＝0，而|x－2|≥0，(2＋2y)2≥0，则这两个数必须同时为零，于是可构造出关于x，y的方程． 2 解：由题得|x－2|＋(2＋2y)2＝0，所以x－2＝0，2＋2y＝0，解得x＝2，y＝－1.即x2＋y＝4－1＝3. 3 应用 1 方程思想在整式概念中的应用 分 类 训 练 4 【点拨】 根据同类项的定义可知，x，y的指数分别相同，可列出方程求解． 5 应用 2 方程思想在非负数中的应用 2．若|2x－y|＋(y＋3)2＝0，求x＋y－xy的值． 应用 3 方程思想在新定义中的应用 【点方法】 根据新运算可列出方程，正确理解题意是解题的关键． 8 应用 4 方程思想在方程的解的定义中的应用 应用 5 方程思想在一元一次方程定义中的应用 6．若方程(m－3)x|m|－2＋m－3＝0是关于x的一元一次方程，求m的值． 应用 6 方程思想在整式加减中的应用 7．【2023·山东实验中学月考】已知A＝2x2＋3xy－2x－1，B＝－x2＋xy－1，且3A＋6B的值与x无关．求y的值． 【点方法】 对于3A＋6B，首先代入化简，因为3A＋6B的值与x无关，即无论x取何值，3A＋6B的值都不变，所以当且仅当含x的项的系数为零时，符合题意．(此时可视y为已知数) 14 应用 7 方程思想在求线段长中的应用 9．如图，∠BOC＝4∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°.求∠AOB的度数． 应用 8 方程思想在求角度中的应用 解：设∠AOC＝x°， 由题意可知，∠BOC＝ 4∠AOC＝4x°. 应用 9 方程思想在求图形面积中的应用 10．如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求小长方形的面积． 解：设小长方形的长为x cm， 则宽为(50－x)cm. 根据题图，可得2x＝x＋4(50－x)． 解得x＝40，则50－x＝10. 所以小长方形的面积为40×10＝400(cm2)． 11．为贯彻落实“双减”政策，积极开拓校外研修课程，某校课外实践小组欲到植物园开展研修活动．植物园提供两种购票方式：一是购买散票，每人一张16元；二是购买团队票，每团一张50元(限定使用人数不超过m)，入园时，每人还需10元，当团队人数超过m时，超过的部分需要购买散票．已知该课外实践小组35人入园，购买了一张团队票50元，共花费430元，求m的值． 应用10 方程思想在解决实际问题中的应用 解：因为50＋10×35＝400≠430， 所以m＜35. 由题意得50＋10m＋16(35－m)＝430， 解得m＝30. 所以m的值为30. 1．【2023·重庆一中模拟】若单项式2xm－1y2与单项式x2yn＋1是同类项，则m＋n＝________. 解：|2x－y|＋(y＋3)2＝0， 则2x－y＝0且y＋3＝0. 解得x＝－，y＝－3. 所以x＋y－xy＝－9. 3．对任意有理数a，b，c，d，规定一种新运算：＝ad－bc.已知＝2，求x的值． 解：由规定的新运算，可得 ＝－4x＋6＝2，解得x＝1. 4．x＝是关于x的方程12x＋5m＝m＋2的解，求关于x的方程mx＋2＝m(1－2x)的解． 解：将x＝代入12x＋5m＝m＋2，解得m＝－1. 再将m＝－1代入mx＋2＝m(1－2x)得， －x＋2＝－1＋2x，解得x＝1. 5．已知关于x的方程＝的解是x＝2，其中a≠0，b≠0，求－的值． 解：已知＝的解是x＝2， 将x＝2代入方程，整理可得3a＝4b. 则＝，＝，所以－＝－＝. 解：方程(m－3)x|m|－2＋m－3＝0是关于x的一元一次方程，则有 解得m＝－3. 解：3A＋6B ＝3(2x2＋3xy－2x－1)＋6(－x2＋xy－1) ＝6x2＋9xy－6x－3－6x2＋6xy－6 ＝15xy－6x－9＝(15y－6)x－9. 由题意知，3A＋6B的值与x无关，所以15y－6＝0.所以y＝. 8．如图，BD是线段AB和CD的公共部分，且BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F的距离为6 cm.求AB，CD的长． 解：设BD＝x cm.因为BD＝AB＝CD， 所以AB＝3x cm，CD＝5x cm. 所以EB＝AB＝x cm，DF＝CD＝x cm. 因为EF＝EB＋DF－BD，所以x＋x－x＝6， 解得x＝2. 所以BD＝2 cm， 所以A