2023-2024学年七年级数学上学期极速16招 -第11招 巧解钟面时针与分针的夹角问题

第11招 巧解钟面时针与分针的夹角问题 例 典 例 剖 析 从3：15到7：45，时针转过了多少度？ 解题秘方：(1)公式法：时针(分针)从某一时刻到另一时刻转过的角度＝时针(分针)转过的时间×时针(分针)的转速(注意统一单位)． (2)观察法：若时针(分针)从某一时刻到另一时刻转过了a大格b小格，则时针(分针)转过的角度为：30°×a＋6°×b. 2 解法一：从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时(或270分)，所以时针转过的角度为4.5×30°＝135°(或270×0.5°＝135°)． 解法二：时针共走了4大格2.5小格． 所以时针转过的角度为4×30°＋2.5×6°＝135°. 3 题型 1 计算从某一时刻到另一时刻，时针(分针)转过的角度 分 类 训 练 1．求从1：45到2：05这段时间内，分针转过的角度． 解：方法一　从1：45到2：05，分针走过的时间为20分，所以分针转过的角度为20×6°＝120°. 方法二　分针共走了4大格(或20小格)，所以分针转过的角度为4×30°＝120°(或20×6°＝120°)． 【点方法】 5 题型 2 计算某一时刻时针与分针(分针与秒针)之间的夹角 2．阅读材料： 作差法：以0点(12点)为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角． 观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针、分针的夹角＝30°×a＋6°×b. 据此回答： (1)4：00，时针、分针的夹角为________． 【点拨】 4：00，时针、分针相差4个大格，夹角为4×30°＝120°. 120° (2)11：40，时针、分针的夹角为________． 110° 【点拨】 3．阅读下面的材料： 方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题通常以0点(12点)为基准，将时针与分针所转过的角度看成一个追及问题，从而借助方程进行求解． 结合材料，用一元一次方程解决下面的问题： 题型 3 求时针与分针成特殊角时对应的时间 如图，在3时和4时之间的哪个时刻，钟表的分针与时针：(1)重合；(2)成平角；(3)成直角． 16 【点方法】 求钟表中时针与分针的夹角有两种方法 1．静态思想：直接根据图形求夹角． 2．动态思想：利用时针与分针的转速求解． 4．小华在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题，以下是他想和大家一起讨论的问题： (1)分针每分转6度，时针每分 转______度． (2)如图①的钟面角为________度， 如图②的钟面角为________度． 0.5 30 22.5 (3)12：00时，时针与分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？ 20 题型 4 求时针与分针成一定角度时对应的时间 5．在日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，时针和分针如同兄弟俩在赛跑，这其中蕴含着丰富的数学知识． (1)如图①，上午8：00这一时刻，时钟 上分针与时针所夹的角为________． 120° (2)请在图②中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到上午8：20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针 转过的度数是________． 画图略. 120° 10° (3)元旦这一天，阳光中学七年级部分学生上午八点多在学校门口集合，准备去步行街参加公益服务活动．临出发时，钟表的时针与分针正好是重合的．下午两点多他们回到学校，进校门时，钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．那么你知道他们去步行街参加公益服务活动共用了多长时间吗？通过计算加以说明． 题型 5 求与钟面上的时针、分针有关的三角形面积 6．在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针(O为秒针和分针的旋转中心)．若现在时间恰好是12点整，经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？ 解：设OA边上的高为h，则h总小于或等于OB，只有当OA⊥OB，即h＝OB时，△OAB的面积最大． 涉及钟表的角度问题时，一般先画出示意图，这样便于分析问题．要牢记时针每小时转动＝30°，每分钟转动＝0.5 °；分针每小时转动360°，每分钟转动＝6° . ①作差法：11：40，以0点(12点)为基准， 时针转过的角度为11×30°＝350°， 分针转过的角度为40×6°＝240°， 所以时针、分针的夹角为350°－240°＝110°. ②观察法：11：40，分针、时针相隔3个大格． 所以时针、分针的夹角为3×30°＝110°. 解：设3时x分时，时针与分针重合，3时整，时针、分针的夹角为90°.即在后x分，分针要比时针多走90°，分针才能与时针重合． 从3时整到3时x分，分针走过6x度