2023-2024学年七年级数学上学期极速16招 -第10招 线段上动点的常见题型

第10招 线段上动点的常见题型 例 典 例 剖 析 如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为－10，点O表示的数为0，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M，点N同时出发)． 极速提分法 2 解题秘方：有关数轴上的动点问题，需先将它运动到某一时刻的距离用含字母的式子表示，再根据运动的距离之间的关系列方程求解． 极速提分法 (1)数轴上点B表示的数是________． 30 极速提分法 (2)经过多少秒，点M，N到原点的距离相等？ 解：设经过x秒，点M，N到原点的距离相等． 分两种情况： ①当点M，N在原点两侧时，根据题意列方程，得 10－3x＝2x，解得x＝2. ②当点M，N重合时，根据题意列方程，得3x－10＝2x，解得x＝10. 所以经过2秒或10秒，点M，N到原点的距离相等． 极速提分法 (3)点N在点B左侧运动的情况下，当点M运动到什么位置时，恰好使AM＝2BN? 极速提分法 题型 1 线段上动点与中点问题的综合 分 类 训 练 1．(1)如图①，D是线段AB上一点，M，N分别是AD，DB的中点，AD＝6，BD＝10，求MN的长． 极速提分法 (2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由． 极速提分法 (3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由． 极速提分法 (4)你能用一句简洁的话，描述你的发现吗？ 极速提分法 题型 2 线段上动点问题中的存在性问题 2．如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的动点，其对应的数为x. (1)PA＝________，PB＝________．(用含x的式子表示) |x＋2| |x－6| 极速提分法 (2)在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 极速提分法 解：存在．分三种情况讨论： ①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去； ②当点P在B点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6， 因为(x＋2)＋(x－6)＝10，所以x＝7； ③当点P在A点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x， 因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以x＝－3. 综上可知，当x＝－3或x＝7时，PA＋PB＝10. 极速提分法 极速提分法 极速提分法 极速提分法 3．如图，线段AB＝24，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，点M为AP的中点，设点P的运动时间为x秒． 题型 3 线段和差倍分关系中的动点问题 极速提分法 (1)当PB＝2AM时，求x的值． 解：当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24－2x，AM＝x，所以24－2x＝2x，即x＝6； 当点P在点B右边时，PA＝2x，PB＝2x－24，AM＝x，所以2x－24＝2x，方程无解． 综上可得，x的值为6. 极速提分法 (2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值． 解：当点P在线段AB上运动时，易知BM＝24－x， BP＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值． 极速提分法 (3)当点P在线段AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA＋PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 极速提分法 【点拨】 MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12， 所以MA＋PN的值是变化的． 极速提分法 21 4．情境一：如图，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 题型 4 线段上动点的方案问题 极速提分法 解：情境一　横穿草坪是为了所走路程最短．因为两点之间的所有连线中，线段最短． 极速提分法 情境二：如图，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 极速提分法 情境二　点P的位置如图． 理由：两点之间的所有连线中，线段最短． 极速提分法 解：设经过y秒，恰好使AM＝2BN， 根据题意，得3y＝2(30－2y)，解得y＝. 又因为3×－10＝， 所以当点M运动到数轴上表示的点的位置时，恰好使AM＝2BN. 解：MN＝DM＋DN＝AD＋BD＝ (AD＋BD)＝×(6＋10)＝8. 解：能．MN＝DM＋DN＝AD＋ BD＝(AD＋BD)＝AB＝8. 解：能．MN＝MD－DN＝ AD－BD＝(AD－BD)＝ AB＝8. 解：若点