题型七 平面解析几何（1）——2024届高考数学高频题型专项训练

题型七 平面解析几何（1） ——2024届高考数学高频题型专项训练 1.已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为( ) A. B. C. D. 2.已知点，是椭圆上的一个动点，，分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上的一点（不与点P重合），且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则( ) A. B. C. D. 4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为.若四边形的面积为14，且，则抛物线C的方程为( ) A. B. C. D. 5.已知点P在曲线上，点Q在曲线上，点R在曲线上，则的最大值是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 6.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于A，B两点.设O为坐标原点，则( ) A.-3 B. C.或-3 D. 7.已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是( ) A.32 B.64 C.128 D.256 8.双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 9.（多选）已知直线，圆，则下列结论正确的是( ) A.直线l恒过定点 B.直线l与圆C恒有两个公共点 C.直线l与圆C的相交弦长的最大值为 D.当时，圆C与圆关于直线l对称 10.（多选）已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，且三角形为正三角形(O为坐标原点)，记PA，PB的斜率分别为，，设I为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是( ) A. B.双曲线C的离心率为 C. D. 11.已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P是圆上不同于A，B两点的动点，直线PB与椭圆C交于点Q.若直线PA斜率的取值范围是，则直线QA斜率的取值范围是__________. 12.已知圆和圆交于A，B两点，直线l与直线AB平行，且与圆相切，与圆交于点M，N，则___________. 13.已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，且过双曲线的右焦点与x轴垂直的直线l与双曲线交于点A，B，的面积为，则双曲线的实轴长为___________________. 14.直线经过抛物线的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，过原点的直线经过弦的中点D，并且与抛物线交于点E（异于原点），则的取值范围是_________. 15.已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为. （1）求抛物线C的方程； （2）设，B是抛物线C上一点，且，直线AB与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标. 答案以及解析 1.答案：A 解析：方法一：由题知直线l的斜率k满足，解得.又直线l经过点，所以其方程为，即. 方法二：由题可设直线l的方程为，，又直线l经过点，所以，解得，所以直线l的一般式方程为. 2.答案：B 解析：如图，延长，，交于点N，则为等腰三角形，M为的中点，又O为的中点，所以.由图可知，当P在短轴端点时，取得最小值，此时，当P在长轴端点时，取得最大值，此时，由题意知P不能在坐标轴上，故的取值范围为. 3.答案：D 解析：圆的圆心为原点，半径为2.易知过原点且与直线垂直的直线方程为，则点到直线的距离为.又因为原点到直线的距离为，所以的最小值为，则.故选D. 4.答案：C 解析：作出图形如下所示，过点F作，垂足为.设，，故，，由抛物线定义可知，，则，故.四边形的面积，解得，故抛物线C的方程为.故选C. 5.答案：C 解析：不妨设的两个焦点分别是，，且.易知点，恰好是两圆和的圆心，且两圆的半径均为1，所以，， 所以的最大值为.故选C. 6.答案：B 解析：由，得，，，则椭圆的焦点为，， 若直线l过右焦点，则直线l的方程为，代入，整理得，即.设，， 则，，则， 故. 7.答案：A 解析：由题意抛物线的焦点为，显然，斜率存在且不为0， 设直线方程为，设，， 由，得， 则，即， 设直线的方程为，设，， 则，即， ， 当且仅当，即时等号成立.故选：A. 8.答案：B 解析：由题意可知：，设，，AB的中点为P，过点A，B，M的圆的圆心坐标为，则， 由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：， 联立方程组，消元可得：， 则，， 由韦达定理可得：，， 解法一：所以AB的中点P的坐标， 则，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所