题型六 空间向量与立体几何（2）——2024届高考数学高频题型专项训练

题型六 空间向量与立体几何（2） ——2024届高考数学高频题型专项训练 1.已知向量，，若，，则的值为( ) A.-3或1 B.-2 C.1或-2 D.2 2.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为( ) A. B. C. D. 3.已知，是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则结论错误的( ) A.，，，则 B.，且，则 C.，，且，则 D.，，，则 4.在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为( ) A. B. C. D. 5.如图，在长方体中，，，P，M分别为线段，的中点，Q，N分别为线段，上的动点.若，则线段QN的长度的最小值为( ) A. B. C. D. 6.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是( ) A.异面直线AB与CD所成的角为 B.直线AB与平面BCD成的角为 C.直线平面ACD D.平面平面BCD 7.如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为( ) A. B. C. D. 8.如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，则三棱锥的体积为( ) A. B. C.2 D. 9.（多选）如图，在正方体中，若棱长为1，点E，F分别为线段，上的动点，则( ) A.平面. B.平面平面 C.点F到平面的距离为定值 D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值 10.（多选）如图，在正四棱锥中，，M，N分别是PB，PD的中点，则下列说法正确的是( ) A. B.直线AM和CN所成角的余弦值是 C.点B到直线AN的距离是 D.点M到平面ACN的距离是2 11.如图，在正三棱柱中，，，D为的中点，则与所成角的余弦值为___________. 12.在梯形中，，，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为________. 13.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________. 14.在棱长为1的正方体中，点M是对角线上的动点（点M与A､不重合），则下列结论正确的是_________________. ①存在点M，使得平面平面； ②存在点M，使得平面； ③的面积不可能等于； ④若，分别是在平面与平面的正投影影的面积，则存在点M，使得､ 15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，是正三角形，平面PAD，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点. (1)求证：平面平面ABCD. (2)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为?若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：A 解析：，.又，.当时，，此时；当时，，此时.故选A. 2.答案：A 解析：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为矩形ABCD的对角线长度的一半，因为，，所以矩形ABCD所在截面圆的半径，由矩形ABCD的面积，设O到平面ABCD的距离为h，所以，解得，所以球O的半径，所以球O的表面积.故选A. 3.答案：D 解析：对于A，若，，则或，若，，则；若，则平面内存在直线c使得，又，所以，又，所以，故A正确. 对于B，若，，则，又，所以，故B正确. 对于C，若，，所以，又且，是空间两个不同的平面，所以，故C正确. 对于D，若，，，则或m与n异面，故D错误.故选D. 4.答案：D 解析：方法一：以点为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，所以，.设直线PB与所成的角为，则.因为，所以. 方法二：如图，连接.因为P为的中点，，所以，又，，所以平面.又平面，所以.连接，则，所以为直线PB与所成的角.设正方体的棱长为2，则在中，，，所以，所以. 方法三：连接，，，，则，所以直线PB与所成的角等于直线PB与所成的角.由P为的中点，知，P，三点共线，且P为的中点.显然，所以为等边三角形，所以，又P为的中点，所以. 5.答案：D 解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则，，，，因为P，M分别为，的中点，所以，.因为Q，N分别为，上的动点，所以可设，，所以，.由，得，即，化简得.由，得，当时，. 6.答案：B 解析：如图，过A作，则G为CD中点， 连接AG，AF，BG，DF，则，， 又，AG，平面ABG， 平面ABG，平面ABG， 则，即异面直线AB与CD所成的角为，故A正确； 设BG和DF的交点为O，O为等边三角形ABC的重心， 由四面体ABCD为正四面体，易知平面BCD， 所以AB与平面BCD所成的角即， 又，所以；故B错误； 正四面体ABCD中，点E，F分别是A