题型六 空间向量与立体几何（1）——2024届高考数学高频题型专项训练

题型六 空间向量与立体几何（1） ——2024届高考数学高频题型专项训练 1.已知某圆台的高为，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为( ) A.9π B. C. D. 2.已知a，b为非零向量，且，，且向量m，n，p不共面，若，则( ) A.-13 B.-5 C.8 D.13 3.如图，在正四棱台中，棱，的夹角为，，则棱，的夹角为( ) A. B. C. D. 4.设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，为等腰直角三角形，且，若F是线段MB的中点，则( ) A.，且直线ME，DF是相交直线 B.，且直线ME，DF是相交直线 C.，且直线ME，DF是异面直线 D.，且直线ME，DF是异面直线 5.已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至.当直线与AD所成的角最大时，三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. 6.如图，已知正方体，M，N分别是，的中点，则( ) A.直线与直线垂直，直线平面ABCD B.直线与直线平行，直线平面 C.直线与直线相交，直线平面ABCD D.直线与直线异面，直线平面 7.在三棱锥中，平面ABC，，，，若三棱锥体积为6，则三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为上的一个动点，则下列选项中错误的是( ) A.三棱锥的体积为定值 B.存在点G，使平面EFG C.存在点G，使平面平面 D.设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 9.（多选）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有( ) A.当点E运动时，总成立 B.当E向运动时，二面角逐渐变小 C.二面角的最小值为 D.三棱锥的体积为定值 10.（多选）在三棱锥中，AB，AC，AD两两垂直，，点P，Q分别在侧面和棱上运动且，M为线段的中点，则下列说法正确的是( ) A.三棱锥的内切球的半径为 B.三棱锥的外接球的表面积为 C.点M到底面的距离的最小值为 D.三棱锥的体积的最大值为 11.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________. 12.在正方体中，下列结论中正确的是__________.(只填序号) ①； ②平面平面； ③； ④平面. 13.《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.该羡除是一个五面体ABCDFE，如图四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________. 14.如图，在矩形ABCD中，，，E为线段BC上的一个动点，现将沿AE折起得到，当二面角的平面角为时，点在平面ABCD上的投影为K，当点E从点B运动到点C时，则点K的轨迹的长度为__________. 15.如图1，菱形ABCD中，，动点E，F分别在边AD，AB上（不含端点），且，沿EF将向上折起得到，使得平面平面BCDEF，如图2所示. （1）当为何值时，； （2）若直线PC与平面BCDEF所成角的正切值为，求平面PEF与平面PBD所成角的大小. 答案以及解析 1.答案：A 解析：圆台的母线长为，其侧面展开图的面积.故选A. 2.答案：B 解析：因为且，所以存在实数，使得，即，所以解得所以. 3.答案：D 解析：如图，分别延长，，，交于点P，连接AC.在正四棱台中，棱，的夹角为，，所以是边长为2的等边三角形，所以.又，所以，所以，所以棱，的夹角为，故选D. 4.答案：B 解析：连接EF，如下图所示： 由题意，，，，则，所以， 因为E，F分别为BD，BM的中点，则， 因为，故四边形FMDE是等腰梯形， 所以，，且直线ME，DF是相交直线.故选B. 5.答案：C 解析：因为异面直线最大角为直角，故当时，与所成角最大，因为四边形是矩形，所以， 又，，、面， 故面，又因为面，所以， 在中，，，所以， 又，，，所以，故， 所以.故选C. 6.答案：A 解析：方法一：连接，则知点M在上，且.因为平面，所以，因为，所以平面，所以与异面且垂直.在中，由中位线定理可得，所以平面ABCD.易知直线AB与平面所成角为，所以MN与平面不垂直.故选A. 方法二：以点D为原点，以向量，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，所以，，所以，，，所以，所以.又由题图知直线与是异面直线，所以与异面且垂直.平面ABCD的一个法向量为，所以，所以平面ABCD.设直线MN与平面所成的角为，因为平面的一个法向量为，所以，所以直线MN与平面不垂直.故选A.