题型四 平面向量（2）——2024届高考数学高频题型专项训练

题型四 平面向量（2） ——2024届高考数学高频题型专项训练 1.若向量a，b满足，，，则( ) A.2 B. C.1 D. 2.已知是边长为1的正三角形，，，则( ) A. B. C. D.1 3.向量，，若，则实数( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.如图，在中，E是的中点，，与交于点M，则( ) A. B. C. D. 5.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 6.已知在中，，，，，若P为CD上一点，且满足，则( ) A. B. C. D. 7.在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.在平面四边形ABCD中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.（多选）如图，已知点O为正六边形ABCDER的中心，下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知向量，，则下列命题正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.设，则当取得最大值时， D.的最大值为 11.已知向量，，且，则实数__________. 12.已知向量，，若，则向量a与b的夹角为____________. 13.窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且E，F，G，H分别是，，，的中点，则的值为__________. 14.在中，，.设，且，则当取最小值时，_________. 15.已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为__________. 答案以及解析 1.答案：B 解析：，，，， ，，，.故选B. 2.答案：A 解析：由，可知E为BC中点，所以，如图所示： 因为，根据上图可知 ，故选A. 3.答案：B 解析：由，又，所以且，故，得.故选B. 4.答案：A 解析：在中，设，，由，可得，故. 又E是的中点，，所以，，所以. 由点E，M，F三点共线，可得，解得， 故.故选A. 5.答案：B 解析：由题意知，，，所以，故选B. 6.答案：A 解析：设， 则， 因为，所以，所以， 又因为，所以，解得， 所以，所以，所以.故选A 7.答案：D 解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，又表示圆上一点到点的距离的平方，圆心到点的距离为，所以，即，故选D. 8.答案：A 解析：如图，设AC，BD交于O.不妨设E点到B点距离大于F点到B点的距离. 由可知且，所以平面四边形ABCD是平行四边形. 设，因为， 所以， 所以，所以平面四边形ABCD是菱形. 又因为，即， 所以，因为，所以， 所以， ， 因为，所以. 所以 ， 当，即E点在B处或F点在D处时，有最大值1， 因为， 当且仅当时等号成立，所以有最小值. 所以的取值范围为.故选A 9.答案：BC 解析：A选项，，故A错误；B选项，，，由正六边形的性质知，，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则，，式子显然成立，故C正确；D选项，设正六边形的边长为1，，，故D错误.故选BC. 10.答案：ACD 解析：A项，若，则，即，故A项正确； B项，若，则，所以，故B项错误； C项，，其中，，故当时，取得最大值，此时，故C项正确； D项，，所以 ， 即的最大值为，故D项正确. 11.答案：-1 解析：由题意得，， 因为，所以，解得， 12.答案：135° 解析：由向量知.又，则，即，，，向量a与b的夹角为135°. 13.答案：0 解析：如图所示，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立直角坐标系. 延长与交于点I，，故I为中点. 直线，同理可得：直线，直线； 解得：，， ，，故，，. 故答案为：0. 14.答案：7 解析：由已知，得点D是AC的中点.设，则由知.以C为原点，分别以CB，CA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，，所以直线BD的方程为.易知点P在直线BD上运动.设，则，，，所以，所以.故当时，取得最小值，此时，则，.由，得. 15.答案：或-0.2 解析：分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直， 由三线合一得到，取的中点E， 因为，，故， 以E为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$