题型二 函数与导数（1）——2024届高考数学高频题型专项训练

题型二 函数与导数（1） ——2024届高考数学高频题型专项训练 1.若函数，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.设，，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 3.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 4.我们把不超过x的最大整数记作，如，，，若实数a，b满足，且，则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( ) A.2600 B.2700 C.26 D.27 6.已知，设函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.已知函数若函数有三个零点，则( ) A. B. C. D. 8.已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 9.（多选）若函数在上满足：对任意的，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列函数能被称为“理想函数”的有( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( ) A. B.曲线在点处的切线可能与直线垂直 C. D. 11.已知直线是曲线在点处的切线方程，则_________. 12.若函数为偶函数，则_____________. 13.已知函数的图象与直线有四个交点，则a的取值范围为_____________. 14.已知函数 ，，若函数至少有4个不同的零点，则实数m的取值范围是______. 15.已知函数，且. （1）求的极值点； （2）设，若，分别是的零点和极值点，证明：. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意可得，则. 故选C. 2.答案：D 解析：因为，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，故选D. 3.答案：D 解析：因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以B错误；当时，，由可得，所以函数在上递减，在上递增，所以C错误；而，排除A，所以D正确.故选D. 4.答案：B 解析：设，则，，由得，，故，则，，且函数在上单调递增，，，.故选B. 5.答案：D 解析：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，所以，则，即耗氧量为，因此鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为. 故选D. 6.答案：A 解析：当时，， 若，必有，解得，所以， 若，满足，所以； 当时，，即， 令，， 由得，得， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即，综上所述，a的取值范围为.故选A. 7.答案：C 解析：由题意，与图象有三个交点， 当时，，则， 在上，递增，在上，递减， 时，有最大值， 且在上，在上. 当时，单调递增， 图象如下 由图知：要使函数有三个零点，则.故选C. 8.答案：D 解析：令，当时，， 当时，，在上单调递减； 又为的奇函数， ，即为偶函数， 在上单调递增； 又由不等式得， 当，即时，不等式可化为，即， 由在上单调递减得，解得，故； 当，即时，不等式可化为，即， 由在上单调递增得，解得，故； 综上所述，不等式的解集为：. 故选D. 9.答案：ABD 解析：不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”.A中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义. 10.答案：ACD 解析：对于A项，由题得，令，则，令得，易得在上单调递增，在上单调递减，所以，由题意可知有两个变号零点，故，即，故A项正确；对于B项，曲线在点处的切线的斜率，若该切线与直线垂直，则，即，与矛盾，故B项不正确；对于C项，由题易知，即，则，由A项可知，所以利用二次函数的性质可得，故C项正确；对于D项，由题易知，即，则，即，要证，只需证，即证，设，则只需证，构造函数，则，所以在上单调递增，故，所以，故D项正确.故选ACD. 11.答案：e 解析：由题设，且，则，所以切线方程为，即，所以，故. 12.答案：2 解析：函数为偶函数， ，即，又，，，，. 13.答案： 解析：，函数图象如下图所示： 当时，， 当时，. 所以要想函数的图象与直线有四个交点， 只需，故答案为：. 14.答案： 解析：设，因为至少有4个不同的零点，所以方程有且仅有两个不相等的根，且由得，故，.当时，由得. ①若，则，此时有3根，，，，，共5个零点， 故有5个零点，满足题意；