题型二 函数与导数（2）——2024届高考数学高频题型专项训练

题型二 函数与导数（2） ——2024届高考数学高频题型专项训练 1.已知幂函数在区间上单调递增，且的图像关于y轴对称，则m的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知若为上的奇函数，，则( ) A. B. C. D.-1 3.已知，.设，，，则( ) A. B. C. D. 4.函数的零点所在的大致区间是( ) A. B. C. D. 5.《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过1%.已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量P(单位：毫克)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系式为(k，均为正常数，e为自然对数的底数).如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( ) A.小时 B.3小时 C.5小时 D.6小时 6.已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为( ) A. B.1 C.2 D. 7.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则t的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数，其中且，若函数图象上存在关于原点对称的点仅有两对，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.（多选）函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，则( ) A. B. C.为偶函数 D.为奇函数 10.（多选）已知函数，则下列结论正确的是( ) A.函数只有两个极值点 B.方程有且只有两个实根，则k的取值范围为 C.方程共有4个根 D.若，，则t的最大值为2 11.已知实数，函数，若，则a的值为________. 12.已知函数，若实数m，n满足，且，则_________. 13.牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用.（参考数据：，） 14.已知函数(e为自然对数的底数)，若关于x的方程有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是________. 15.已知. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为幂函数在区间上单调递增，所以，解得.所以m的值为0，1，2.当时，不满足条件；当时，满足条件；当时，不满足条件.故选C. 2.答案：C 解析：由题意得，当时，.因为为上的奇函数，所以，所以，即，所以（舍去）或.因为，所以.故选C. 3.答案：A 解析：由，而，， 即；，，，，，，，， 综上，.故选：A. 4.答案：C 解析：的定义域为， 又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，， 所以，所以在上存在唯一的零点.故选C. 5.答案：B 解析：由题意，前3个小时废气中的污染被过滤掉了90%， 因为，所以，所以，即，因为按规定排放废气，所以，即，解得，所以还需要过滤小时.故选B. 6.答案：D 解析：，不等式即为：，由且，，设，则，故在上是增函数，，即，即存在，使， ，设，则，，； ，；在上递减，在上递增， ，.故选D. 7.答案：C 解析：由题可得：， 因为函数有两个不同的极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根， 于是有解得. 若不等式有解， 所以 因为 . 设，，故在上单调递增，故，所以，所以t的取值范围是.故选C. 8.答案：C 解析：关于原点对称的函数为，即， 若函数图象上存在关于原点对称的点仅有两对， 则与在上有两个不同的交点， 所以方程在上有两个不同的实数根， 即在上有两个不同的实数根， 由，得，即， 令，则，令，得， 在上，单调递增，在上，单调递减， 所以，且时，时， 如图所示，有两个不同的实数根等价于与有两个交点， 则满足，解得.故选C 9.答案：BCD 解析：因为为奇函数，为偶函数，所以的图像关于点对称，同时关于直线对称，所以，A错误；，，B正确；，即函数为周期函数，周期为4，所以，即函数为偶函数，C正确；，所以函数为奇函数，D正确.故选BCD. 10.答案：ACD 解析： 对于A，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项A正确；对于B，由选项A知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则k的取值范围为，故选项B错误；对于C，由得：，解得，令，则，结合图象方程有两解，，，所以或，因为，所以，所以方程有两解；又因为，结合图象可知：