导数中的分离常数与分类讨论讲义-2024届高三数学二轮复习

在不等式恒成立求解参数范围时， 分离常数 我们一般首选分离常数，对分离的式子求最值，在取得最值时的自变量使表达式有意义时，可以快速的求得参数的范围; 分类讨论 但有时分离常数会遇到函数取得最值时自变量函数值无意义的情况， 例如:对任意，恒成立，求的范围; 若直接分离常数，则，设， ,单调递减，由于在处无定义， 此时我们就无法分离常数，需要带着参数求导，分类讨论去处理不等式来求解参数的范围. 讨论参数的两种方式: ①通过端点，极值点处的正负直接讨论参数的范围; ②函数求导后得到参数与极值点的函数关系，通过求极值点的范围求参数的范围. 一.分离常数与分类讨论应用举例 例1.（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围. 例2.（2022上·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 二.分离常数与分类讨论及时演练 练习1.（2011下·河南郑州·高二统考期末）已知函数. (I)求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值. 练习2.（2022·江西九江·统考三模）已知函数. (1)当时，试比较与0的大小； (2)若恒成立，求的取值范围. 练习3.（2023·重庆·统考二模）已知为自然对数的底数，为常数，函数. (1)求函数的极值； (2)若在轴的右侧函数的图象总在函数的图象上方，求实数的取值范围. 练习4.（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）已知. (1)当时，求证：函数在上单调递增； (2)若只有一个零点，求的取值范围. 练习5.已知函数=,= 当=1时,求的最小值; 若对任意的有恒成立,求实数的取值范围. 练习6.（2022·上海高考模拟）已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，研究函数在区间上的单调性； (3)是否存在实数使得函数在区间和上各恰有一个零点？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 练习7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 在不等式恒成立求解参数范围时， 分离常数 我们一般首选分离常数，对分离的式子求最值，在取得最值时的自变量使表达式有意义时，可以快速的求得参数的范围; 分类讨论 但有时分离常数会遇到函数取得最值时自变量函数值无意义的情况， 例如:对任意，恒成立，求的范围; 若直接分离常数，则，设， ,单调递减，由于在处无定义， 此时我们就无法分离常数，需要带着参数求导，分类讨论去处理不等式来求解参数的范围. 讨论参数的两种方式: ①通过端点，极值点处的正负直接讨论参数的范围; ②函数求导后得到参数与极值点的函数关系，通过求极值点的范围求参数的范围. 一.分离常数与分类讨论应用举例 例1.（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)． 解法一:分离常数 （1）因为，定义域为，得 令，则，当，得， 当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，只需 因为，令，， 有， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为. 解法二: 指数集中+分类讨论 由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即，， 令，可知， ， 当时，时，，单调递减， 此时，不满足题意， 当时，时，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增 故，此时， 故，满足题意 当时，，单调递增， 此时，满足题意 当时，时，，单调递增， ，，单调递减， ，，单调递增 故，而， 由于时，，故成立，此时满足题意 综上:， 的取值范围为. 解法三: 直接分类讨论 由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即，设，其中， ， ， 则，，单调递减，，，单调递增， 故， 当，，故单调递增，; 由于，故当时， 可知存在，使，即， 由于,故， 并且，，单调递减; ，，单调递增; 故,将代入可得， ，因为，所以， 故，不满足题意; 时，， 可知存在，使得，并且, 即，；， 并且，，单调递增; ，，单调递减; ，，单调递增; 故,将代入可得， ，因为，所以， 故，不满足题意; 时，， 可知存在，使得，并且, 即，；， 并且，，单调递增; ，，单调递减; ，，单调递增; 故,将