设点与设线方法在圆锥曲线中的常见应用 讲义——2024届高三数学一轮复习

在解决圆锥曲线的问题中，常常需要去设中间变量或者设未知数求解; 我们也经常运用韦达定理，通过设而不求的方式求解; 这些中间变量或者要运用韦达定理，我们一般就通过设某个点为未知数或者设出直线帮助我们联立然后韦达； 所以设点与设线就是我们求解圆锥曲线问题的基本思路. 在圆锥曲线中， 我们设点的方式： 可以直接设出解题的关键点; ②根据点所在的曲线的特性，例如点在轴上，可设, 点在抛物线，可设点. 我们设直线的方式： 斜截式:设直线:；有时截距在轴上时，也可以设直线: ②点斜式:已知一点，可设直线: . ③两点式:已知两点，，则， 所以直线: ，或. 下面我们从三个方面来介绍设点设线在圆锥曲线中的应用 直线过定点 ②求面积，面积最值，面积比值 ③求值，求范围，证明共线与平行 一.直线过定点 解题思路: 直线过定点我们要想办法去设出直线 ①设点斜式: ，然后利用题目中的条件建立与的关系，将直线中的两个参数换成一个参数，只有一个参数的直线方程一定过定点. ②用点表示直线:通过设别的参数或点，利用参数或者设出的点的坐标表示出我们要求定点的直线，再求出定点(这种方式我们习惯先确定点所在的大致位置，例如利用对称推测点在轴，则定点可设为，或者在所求直线中设，再去求，这样会方便一点). 有时可以通过一些特殊位置先求出定点再验证 1.（2022·重庆·统考一模）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的两条直线分别和椭圆交于不同两点A，（A，异于点且不关于坐标轴对称），直线，的斜率分别为，，且.试问直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 2.（2021上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 3.（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 4.（2022下·河南·高三校联考阶段练习）已知点P是抛物线C：的顶点，过点的直线l交C于A，B两点，点M是△的外接圆的圆心. (1)试问：直线l与点M的轨迹是否有交点？若有，请求出交点坐标；若没有，请说明理由； (2)若在点M的轨迹上存在不关于y轴对称的两点G，H，使直线PG与直线PH关于y轴对称，求证：直线必过定点. 5.（2021·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考二模）已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为，A､B为椭圆上的两个动点，当A､B关于原点对称时，的最大值为. （1）求椭圆C的方程； （2）若存在实数使得，过点A作直线的垂线，垂足为N，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 6.（2022上·广东江门·高二鹤山市第一中学校考阶段练习）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影分别为点.若，其中为原点，为右顶点，为离心率. (1)求椭圆的方程； (2)连接，试探索当变化时，直线是否相交于一定点.若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 7.（2021下·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，椭圆的右焦点为F，过F任意作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，M，N分别为和的中点． （1）若直线斜率为，其中O为坐标原点，求直线的斜率； （2）记到直线的距离为d，求d的最大值. 8.（2020·全国·统考高考真题）已知、分别为椭圆：（>1）的左、右顶点，为的上顶点，，为直线=6上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点. 9.（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点． 10.（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上. 14.（2019·北京·高考真题）已知抛物线：−经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程； （Ⅱ）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线