第十六章 二次根式（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十六章 二次根式（知识归纳+题型突破） 1.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 特别说明：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别说明： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如 【题型一 二次根式的定义】 例题：（2023下·浙江丽水·八年级期末）下列式子一定不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）下列式子是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子是二次根式的有（      ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 3．给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　  ） A． B． C． D． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（2023上·安徽宿州·八年级校考阶段练习）二次根式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）要使二次根式有意义，则的值可以取（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东云浮·统考二模）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（2023下·浙江丽水·八年级校联考期中）当时，的值为 ． 【变式训练】 1．当时，二次根式的值是_________． 2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当时，二次根式的值是 ． 3．已知，则________． 【题型四 求二次根式中的参数】 例题：如果是一个整数，那么最小正整数___________． 【变式训练】 1．已知有理数满足，则的值是______. 2．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【题型五 利用二次根式的性质化简】 例题：计算：______． 【变式训练】 1．化简：______，______． 2．化简： (1)． (2)． (3)． 【题型六 二次根式的乘除运算】 例题：（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）计算：． 【变式训练】 1．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）计算： 2．（2023上·上海闵行·八年级统考期中）计算： 3．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）计算：． 4．（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）计算： 5．（2023上·全国·八年级专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型七 最简二次根式的判断】 例题：下面是最简二次根式的是