内蒙古自治区赤峰四中2021-2022学年高二上学期期中考试理数试题

1 赤峰第四中学 2021--2022 学年度第一学期 高二理科数学期中试卷 2021.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡及答题纸上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡或答题纸上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1A 2C 3A 4D 5C 6D 7A 8D 9B 10D 11C 12A 1 916 .13 22  yx 14A..y＝± 3 (x－1) 15． 0；[ 7,2) . 16. 7 2 17.(本小题满分 10分) 已知 A＝{x|x2－2x＋1－a2≥0}，B＝{x|x2－3x－10>0)。p：x∈A，q：x∈B。若 p是 q的必要不充分 条件，求实数 a的取值范围。 18．已知 C ： 2 2 16x y  ． （Ⅰ）设点  ,Q x y 为 C 上的一个动点，求 4 3x y 的范围； （Ⅱ）直线 l过点  3,4P ，且与 C 交于 A、 B两点，若 2 7AB  ，求直线 l的方程． 18．解析：（Ⅰ）设 4 3x y t  ，则直线 4 3x y t  与 C 有公共点， 所以圆心到直线的距离 4d  2 2 4 4 3 t   ，解得 20 20t   ． （Ⅱ）当直线 l垂直于 x轴时，此时直线方程为 3x  ，l与圆的两个交点坐标为 (3, 7)，(3, 7) ， 2 这两点的距离为2 7 ，满足题意； 当直线 l不垂直于 x轴时，设其方程为  4 3y k x   ， 即 3 4 0kx y k    ，设圆心到此直线的距离为  0d d  ，则 22 7 2 16 d  ， 得 3d  ，从而 2 3 4 3 1 k k     ，得 7 24 k  ，此时直线方程为7 24 75 0x y   ， 综上所述，所求直线方程为7 24 75 0x y   或 3x  ． 19.(本小题满分 12分) 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上一点，∠F1PF2 ＝120°，|PF1|＝2＋ 3，|PF2|＝2－ 3。 (1)求椭圆 C的方程； (2)求点 P的坐标。 20.(本小题满分 12分) 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点(1，1)。 (1)求抛物线 C的方程； (2)O为坐标原点，A、B为抛物线 C上异于原点 O的不同两点，直线 OA，OB的斜率分别为 k1，k2， 若 k1k2＝－2，求证：直线 AB过定点。 21. 双曲线 2 2 2 1( 0) yx b b    的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直线 l过 2F 且与双曲线交于 ,A B 两点 (1) 若 l的倾斜角为 2  ， 1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 (2) 设 3b  ，若 l的斜率存在，且 1 1( ) 0F A F B AB      ，求 l的斜率 21. 【解析】(1)由已知 21( 1,0)F b  , 2 2 ( 1,0)F b  取 2 1x b  ，得 2y b 1 2 23F F F A ∵ 21 2 2 1F F b  , 2 2F A b ∴ 2 22 1 3b b  即 4 2 2 23 4 4 (3 2)( 2) 0b b b b      ∴ 2b  ∴渐近线方程为 2y x  3 (2)若 3b  ，则双曲线为 2 2 1 3 yx   ∴ 1( 2,0)F  , 2 (2,0)F 设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ，则 1 1 1( 2, )F A x y   , 1 2 2( 2, )F B x y   , 2 1 2 1( , )AB x x y y    ∴ 1 1 1 2 1 2( 4, )F A F B x x y y       2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1( ) 4( ) 0F A F B AB x x x x y y            (*) ∵ 2 2 2 21 2 1 2 13 3 y yx x    ∴ 2 2 2 22 1 2 13( )y y x x   ∴代入(*)