13.5.1 互逆命题与互逆定理讲义2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

13.5.1 互逆命题与互逆定理 知识梳理 1、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 2、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。 3、定理作为一个命题一定有逆命题，由于逆命题不一定都是真命题，因此并不是所有的定理都有逆定理。例如：“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以，“对顶角相等”这个定理没有逆定理。也就是说，任何一个命题都有逆命题，只须将条件与结论对调即可，但有的定理没有逆定理。 例题 例．根据命题“两直线平行，内错角相等”，解决下列问题： （1）写出逆命题； （2）判断逆命题是真命题还是假命题； （3）根据逆命题画出图形，写出已知、求证． 【答案】（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）见解析 【分析】 （1）把命题的题设和结论交换即可； （2）根据平行线的判定方法解答； （3）把文字叙述转化为图形写出已知求证即可． 【详解】 解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行； （2）是真命题； （3）已知：如图，， 求证：． 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 基础训练 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．若x＝y，则ax＝ay B．若x＞0，y＞0，则xy＞0 C．锐角三角形是等边三角形 D．全等三角形的对应角相等 2．命题“邻补角互补”的逆命题是（       ） A．真命题 B．假命题 C．有时是真命题，有时是假命题 D．互补的两个角相邻 3．下列命题的逆命题为真命题的是（       ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．直角都相等 D．同位角相等，两直线平行 4．下列命题的逆命题是假命题的是（       ） A．如果或，那么 B．两个负数之积是正数 C．如果，那么 D．绝对值相等的两个数一定相等 5．以下命题的逆命题为真命题的是（       ） A．邻补角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若，则 D．若，则 6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中（       ） A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60° C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60° 7．下列命题的逆命题是假命题的是（       ） A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形三个角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 8．以下定理，其中有逆定理的是(    　) A．对顶角相等 B．互为邻补角的角平分线互相垂直 C．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 9．下列命题中，其逆命题是真命题的是（       ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的对应角相等 D．四边形是多边形 10．下列命题的逆命题是真命题的是（       ）． A．的平方根是3 B．是无理数 C．1的立方根是1 D．全等三角形的周长相等 二、填空题 11．把命题“如果a>b，那么ac>bc(c≠0)”的逆命题改写为“如果……，那么……”的形式:_________ 12．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题是__________． 13．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____． 14．命题：“等角的余角相等”的条件是_________，结论是：_________，逆命题是_________． 15．命题“如果两个角的和为，那么这两个角互补”的逆命题是_______. 三、解答题 16．写出下列命题的逆命题，并指出原命题与逆命题的真假性． （1）如果，那么； （2）如果，那么． （3）如果两个角的两边互相平行，那么这两个角一定相等． 17．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 18．根据命题“两直线平行，内错角相等”，解决下列问题： （1）写出逆命题； （2）判断逆命题是真命题还是假命题； （3）根据逆命题画出图形，写出已知、求证． 19．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若，则； （2）若，则． 20．写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.5.1 互逆命题与互逆定理 知识梳理 1、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个