13.1.2 定理与证明讲义2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

13.1.2 定理与证明 知识梳理 1、基本事实与定理： 基本事实是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是不需要证明的，可以作为判定其他命题真假的依据。 定理是经过推理论证是正确的命题，也可作为判定其他命题真假的依据。 2、证明： 根据条件、定义以及已经被确认的基本事实、定理等，经过逻辑推理，来判断—个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。证明真命题的一般步骤是：①根据题意，画出图形；②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。 例．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例. 【答案】（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①；（2）详见解析. 【分析】 （1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题， （2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假． 【详解】 解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①, （2）∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠CDF， ∴CE∥BF， ∴∠E=∠F， 所以由①②得到③为真命题； ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∴∠B=∠C， 所以由①③得到②为真命题； ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CDF， ∴AB∥CD， 所以由②③得到①为真命题． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 基础训练 一、单选题 1．下列语句中，不是命题的句子是(   ) A．过一点作已知直线的垂线 B．两点确定一条直线 C．钝角大于90° D．所有直角都相等 2．下列语句中，属于命题的是(   ) A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．平行四边形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 3．下列命题是假命题的是（　 　） A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．等角的补角相等 C．无理数包括正无理数，0，负无理数 D．两点之间，线段最短 4．下列命题中真命题的个数是(     ) ①三角形的两边之和大于第三边；②同类项的系数必相同；③若a与b互为倒数，则ab＝1，④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列句子是命题的是（ ） A．画∠AOB=45° B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结CD D．三角形的中位线平行且等于第三边的一半 6．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（       ）． A．， B．， C． D．， 7．命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是(　　) A．如果是同角的补角，那么相等 B．如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 C．如果两个角互补，那么这两个角相等 D．如果两个角是同角，那么这两个角是补角 8．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ） A．2k B．15 C．24 D．42 二、解答题 9．下列句子中哪些是命题？ (1)动物需要水； (2)玫瑰花是动物； (3)美丽的天空； (4)相等的角是对顶角； (5)负数都小于0； (6)你的作业做完了吗？ 10．将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论： 对顶角相等； 11．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论： (1)三角形的内角和是180度； (2)同角的余角相等； (3)内错角相等，两直线平行 12．举反例说明下列命题是假命题： (1)(a＋b)2＝a2＋b2 (2)若|a|＝|b|，则a＝b (3)两个负数的差一定是负数． 13．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的平分线； (3)若a，b是奇数，则ab是奇数． 14．命题：若a＞b，则＜. (1)请判断这个命题的真假．若是真命题请证明；若是假命题，请举一个反例； (2)请你适当修改命题的题设使其成为一个真命题． 三、填空题 15．将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果___________________________________，那么_______________________． 16．“两