第06讲 勾股定理的逆定理（6大考点+过关检测）-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（人教版）

第06讲 勾股定理的逆定理 1．互逆命题与互逆定理 （1）互逆命题的定义 如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. （2）互逆定理的定义 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 2．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的逆定理． 【注意】（1）若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．不能机械地认为c边所对的角必是直角，例如：若a2-b2=c2，则a边所对的角是直角． （2）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角边”． 3．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数． 勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…． 1.互逆命题与互逆定理的关系 （1）命题有真有假，而定理都是真命题； （2）每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理； （3）互逆的两个命题不一定同真或同假，互逆的两个定理都是真命题. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤 ①确定三角形的最长边； ②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； ③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； ④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形． 3.常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路． 考点剖析 【考点1】直角三角形的判定 【例1】在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A．3，4，6 B．12，18，22 C．，， D．8，15，17 【考点2】勾股数 【例2】若6、8、a为勾股数，则a的值为（    ） A． B．10 C．12 D． 【变式2】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，9，12 B．，， C．52，122，132 D．7，24，25 【考点3】网格内判定直角三角形 【例3】如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均为网格上的格点．    (1)__________，__________，__________； (2) 的形状为__________三角形； (3)求中边上的高． 【变式3】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：    (1)试说明是直角三角形； (2)求点到的距离． 【考点4】利用勾股定理的逆定理求解 【例4】如图，在中，，，D为上一点，且，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式4】如图，在中，，，，点D为内一点，且，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分（四边形）的面积． 【考点5】勾股定理的逆定理的应用 【例5】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．    (1)求修建的公路的长； (2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？ 【变式5】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【考点6】勾股定理的逆定理的拓展问题 【例6】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形