精品解析：天津市武清区杨村一中2024届高三上学期第三次质量检测数学试题

2023-2024学年度杨村一中高三年级上学期第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则下列结论中错误是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 7. 设，，则的值为（ ） A. B. C. 27 D. 26 8. 已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（ ） A. B. C. D. 2 9. 在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ） A. 10 B. 4 C. 7 D. 13 二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上） 10. 设，i是虚数单位，则______． 11. 在二项式的展开式中，常数项是______． 12. 已知直线：与圆：交于P，Q两点，且为正三角形，则_____________ 13. 抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为______． 14. 如图，在多面体中，四边形是矩形，，为的中点.记四棱锥，的体积分别为，，若，则___________. 15. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共5小题，共75分.将解题过程写在答题纸上） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，已知平面，为矩形，，M，N分别为线段，的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. （3）若Q是线段的中点，求点Q到平面的距离. 18. 已知椭圆：上顶点为，左，右焦点分别为，，的面积为，直线的斜率为.为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.，且，求直线的方程. 19. 设等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，且（）. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. （3）若从数列列中依次取出第项，第项，第项，……，第项，……并按原来的先后顺序组成一个新的数列，求数列的通项公式与前n项和. 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度杨村一中高三年级上学期第三次质量检测 数学试卷 一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示全集，进而进行集合间的运算. 【详解】由已知得， 则， 所以， 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求