4.2.1对数运算-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

4.2.1对数运算 题型1对数的概念 2 题型2对数有意义条件 3 题型3对数式与指数式的互化 4 题型4对数求值 5 题型5利用对数的定义解方程 6 题型6对数恒等式的应用 7 题型7用已知对数表示其他对数 8 ◆类型1单变量的线性表示 8 ◆类型2双变量表示对数 8 ◆类型3双变量表示指数 8 ◆类型4三个变量的线性表示 9 ◆类型5双变量相关的运算 9 题型8最值问题 10 知识点一．对数的概念 1.对数的定义：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 知识点二.对数与指数的关系 当,且时，ax＝Nx=logaN. 知识点三.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)； (3)logaa＝1(a>0，a≠1). 知识点四.对数恒等式：①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 题型1对数的概念 【例题1】（2021上·高一课时练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】1．（2020上·高一课时练习）下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于;④成立.其中正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】2．（2019·高一课时练习）下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】3．（2022上·四川甘孜·高一四川省泸定中学（泸定县教师进修校）校考阶段练习）对于 ，且，下列说法中，正确的是（    ） ①若 ，则 ;         ② 若，则; ③ 若 ，则;       ④若 ，则. A．①③ B．②④ C．② D．①②④ 【变式1-1】4. （2022上·天津红桥·高一统考期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 题型2对数有意义条件 【方法总结】 对于对数,一定要注意底数和真数的限制条件:>0且≠1, N>0 【例题2】（2019·高一课时练习）当为何值时下列各式有意义? （1），则 ； （2），则 ； （3），则 ； （4），则 . 【变式2-1】1．（2023上·贵州贵阳·高一校考阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【变式2-1】2．（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2020下·江苏南通·高一统考期末）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】4. （2022上·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 题型3对数式与指数式的互化 【方法总结】指数式与对数式互化的方法： 1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； 2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【例题3】（2023·江苏·高一专题练习）将下列指数式、对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】1．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式3-1】3. （2023上·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). 【变式3-1】4. （2021上·高一单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型4对数求值 【方法总结】求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤 1设logaN＝m； 2将logaN＝m写成指数式am＝N； 3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b