湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2023—2024学年高三 上学期12月月考数学试题 一、单选题 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为实数，复数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若与都是非零向量，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为2，以该圆台的上底面为底面，挖去一个半球，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．函数满足对任意都有成立， 且函数的图象关于点对称，，则（     ） A．12 B．8 C．4 D．0 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为 A． B． C． D． 8．设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为 A．1 B． C． D． 二、多选题 9．2022年的夏季，全国多地迎来罕见极端高温天气．某课外小组通过当地气象部门统计了当地七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图表，则根据图表，下列判断正确的是（    ）    A．七月份前20天最低气温的中位数低于25℃ B．七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差 C．七月份前20天最高气温的平均数高于40℃ D．七月份前10天（1—10日）最高气温的方差大于最低气温的方差 10．过直线上一点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与轴分别交于点M，N，则（    ） A．直线OP为线段AB的中垂线 B．四边形PAOB面积的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 11．已知为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 12．已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为 ． 14．已知函数，若，则 ；若恒成立，则实数a的取值范围是 . 15．已知体积为96的四棱锥的底面是边长为的正方形，底面ABCD的中心为，四棱锥的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹的长度为 . 16．已知直线l是抛物线（）的准线，半径为的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为 ；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在中，，则的值为 . 四、解答题 17．设是数列的前项和，点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求使的的最小值； (3)设正数数列满足，求数列中的最大项. 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 19．微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”版块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响. (1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望； (2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率. 20．如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点． (1)当EN∥平面MBD时，求λ的值； (2)试探究：随着λ值的变化，二面角B­MD­E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小． 21．已知，是椭圆上的两点． (1)求椭圆E的方程； (2)过椭圆E的上顶点A和右焦点F的直线与椭圆E交于另一个点B，P为直线上的动点，直线，分别与椭圆E交于C（异于点A），D（异于点B）两点，证明：直线经过点F． 22．已知函数的图象关于直线x＝1对称，且函数为偶函数，函数. (1)求函数的表达式； (2)求证：方程在区间上有唯一实数根； (3)若存在实数m，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页