专题3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题3-3 二次函数面积定值、比例问题以及米勒角问题 1 / 25 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题 例1－1湖北武汉市·中考真题 2023·齐齐哈尔·中考真题（删减） 南通·中考真题 2023·山东泰安·中考真题 【题型2】作平行线解决面积问题 例2－1山东省临沂市·中考真题 2023·四川甘孜·中考真题 四川凉山州·中考真题 连云港·中考真题 2023·黑龙江·中考真题 江苏徐州·中考真题 【题型3】面积比例问题的转化定值问题或函数表达式 例3－1内蒙古通辽市·中考真题 2023·辽宁盘锦·中考真题 2022·福建·统考模拟预测 【题型4】面积比例问题的转化为线段比 例4－1 深圳市中考真题 牡丹江中考真题 2022·四川内江中考真题 2023·四川泸州中考真题 2022·四川内江中考真题 【题型5】 米勒角（最大张角问题） 例题5-1 山东烟台中考真题 2023·四川宜宾中考真题 一、面积定值与等值问题 1 .定值问题 【问题描述】 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标． 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为， 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3）， ，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值． 思路2：构造等积变形 同底等高三角形面积相等． 取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2， 在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点． 当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可． 当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可． 2 . 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积，求点P坐标． 思路1：铅垂法 计算出△BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点， 另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点． 先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标． 二、面积比例问题 1、方法突破 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比． 转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则． 更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD交于点E，则． 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比． “A”字型线段比：． “8”字型线段比：． 转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：． 总结：面积能算那就算，算不出来就转换；底边不行就作高，还有垂线和平行． 三、米勒角问题（最大张角） 【问题描述】 1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置． 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． 如图，． 换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角． 【问题解决】 结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大． 证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM， ∠AMB即为圆O的圆外角， ∴∠APB>∠AMB，∠APB最大． ∴当圆与直线l相切时，∠APB最大． 特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理） 证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理） ∴△AOP∽△POB，∴，∴． 即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置． 【题型1】作铅垂高解决面积定值问题 例1－1湖北武汉市·中考真题 1． 抛物线L：经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B． （1）直接写出抛物线L的解析式； （2）如图1，过定点的直线与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求的值． 2