重难点02 切线放缩与不等式-备考2024年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

2024 XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI 高考数学重难点 新 思 维 数 学 XINSIWEI 统计近几年高考试题，明确命题规律 多角度切入，多方向解析，总结解题思维策略 以高考真题为载体，科学备考不走弯路 针对高考中的高频难点，精心设计，助你冲击数学巅峰 重难点2 切线放缩与不等式 难点2 切线放缩与不等式 函数不等式问题在高考中的分布规律（2020-2023年） 年份 试卷类型 考题 考向 命题形式 2020 新Ⅰ卷 21 几何意义、函数单调性 不等式求参数 新Ⅱ卷 22 几何意义、函数单调性 不等式求参数 2021 新Ⅰ卷 22 函数单调性、极值 不等式证明 2022 新Ⅰ卷 22 函数最值、几何意义 证明 新Ⅱ卷 22 单调性、极值最值 不等式证明 2023 全国甲卷理科 20 单调性、极值最值 不等式恒成立求参 全国甲卷文科 20 单调性、极值最值 不等式恒成立求参 新Ⅰ卷 19 函数单调性、极值最值 不等式证明 新Ⅱ卷 22 函数极值、最值 不等式证明，求参 根据近几年的高考试题分析可以发现，函数、导数与不等式的综合往往以高考压轴题的形式出现，考查形式以证明不等式、不等式恒成立求参数为主，这类问题对考生的能力要求较高，是我们高考数学冲击高分的关键，在平时的备考过程中要注意总结这类问题的处理方法和策略，并内化为自己的能力。 在我们自己阅读这类试题的答案时，你可能会疑惑导数题答案中为何会出现莫名其妙的不等式、出现不知来源的函数构造，感觉整个解题过程如同神来之笔，让人只能膜拜，那么下面学会切线放缩，你也会成为不等这神来之笔的创造者，弄清这类不等式的前世今生。 预备知识：函数凹凸性 （1） 知识背景： 在人教A版必修1必修1第101页复习参考题3第8题如下： 证明：(1)若，则； (2)若则. 这道题的深刻背景为函数的凸凹性，在这一讲中将介绍函数的凸凹性的定义、判定、性质及其推论等 （2） 定义：①凹函数：设函数在区间上有定义，如果对于任意和都有，则说函数在上为凹函数(或称为下凸函数) 当时，则，函数图象如图(1)所示). 几何解释：下凸函数的图象上弧线位于线段的下方 ②凸函数：如果，则说函数在上为凸函数(或称为上凸函数) 当时，则，函数图象如图(2)所示) 几何解释：上凸函数的图象上弧线位于线段的上方； （3） 凸凹性的判断：①从几何的角度：如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的． ②从代数的角度：对于凹的曲线弧，切线的斜率随的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随的增大而减小，从而可得： 设函数在内具有二阶导数． (1)如果在内，＞0，那么曲线在内是凹的； (2)如果在内，＜0，那么曲线在内是凸的． （3）特殊化 当时，可以判断时凹函数，故在函数图像上任意取一点，则函数图像位于过点切线的上方，如当时，切线方程为，故； 当时，可以判断时凸函数，故在函数图像上任意取一点，则函数图像位于过点切线的下方，如当时，切线方程为，故； （上面两个不等式我们习惯上称为切线不等式，其证明此处略去，以下在解题中，为节约篇幅可直接应用，省去证明过程） 下面我们结合近几年的高考试题，谈一下以上不等式在处理问题的应用，并探究一下高考试题的命制过程以及怎样的函数可以用切线不等式进行防缩。 例1．（2023·全国新高考Ⅰ卷）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 例2 （2020·山东·统考高考真题）已知函数．真 （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 例3（2022·新高考Ⅰ卷）设，则（    ） A． B． C． D． 例4.（2018新课标Ⅰ卷）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 1．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 2．（2011·北京·高考真题）已知函数. （1）若时，有解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下取最小值时，求证：恒成立. 3.（2024·全国·高三课时练习）已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）求证：对任意的且，都有：． （其中为自然对数的底数）． 4.已知函数f(x)=,g(x)=,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+n=0. (1)求m,n的值; (2)证明:f(x)>2g(x)-1. 5.(2023·淄博模拟)已知函数f