专题12 全等三角形能力提升题-2023-2024学年八年级数学上学期期末必刷题型专题训练（华东师大版）

专题12 全等三角形能力提升题 1．（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，△MNP是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边△PFH边长的最小值． 2．已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． (1)如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． (2)如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． (3)如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若△ABC的边长为，，求的长． 3．在△ABC中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 4．【问题探究】 （1）如图，锐角△ABC中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角△ACD，使，，，连接，，请直接写出和的数量关系． 【深入探究】 （2）如图，锐角△ABC中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，在△ABC中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长； 【解决问题】 （4）如图，在四边形中，，，，，求的最大值．    5．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    6．（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    （3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．    7．如图1，在△ABC中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作等腰直角，，． （1）如果，， ①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段，所在直线的位置关系为______，线段，的数量关系为______； ②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果，是锐角，点在线段上，能成立吗？若不能，说明理由，若能，直接写出的度数． 8．如图，已知△ABC中，，，分别过B，C向经过点A的直线作垂线，垂足为E，F． （1）如图1，当与斜边不相交时，写出、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当与斜边相交时，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，猜想、、之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由． 9．在△ABC中，，，是的两条角平分线，且，交于点． （1）如图1，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论； 小东通过观察、实验，提出猜想：．他发现先在上截取，使，连接，再利用三角形全等的判定和性质证明即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整： ⅰ）在上截取，使，连接，则可以证明与全等，判定它们全等的依据是； ⅱ）由，，是的两条角平分线，可以得出°； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想的过程． （2）如图2，若 ，求证：． 10．如图（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；